Ciągi monotoniczne

Ciąg monotoniczny jest ciągiem liczbowym, który rośnie, maleje lub jest stały.

Ciąg an rosnący występuje, gdy dla każdej liczby n N+ spełnia się nierówność an an+1 .
Ciąg an malejący występuje, gdy dla każdej liczby n N+ spełnia się nierówność an an+1 .
Ciąg an stały występuje, gdy wszystkie wyrazy danego ciągu są jednakowe.

Przykład 1
Kolejne wyrazy ciągu o wzorze ogólnym an = to: , 1, , 2, , 3, , 4,…
Każdy wyraz, poza pierwszym, ma większą wartość od poprzedniego, zatem ciąg jest rosnący.

Przykład 2
Kolejne wyrazy ciągu o wzorze ogólnym an = to: 5, , , , 1, ,…
Każdy wyraz, poza pierwszym, ma mniejszą wartość od poprzedniego, zatem ciąg jest malejący.

Ćwiczenie 1
Podaj przykład ciągu:
a) rosnącego o wyrazach całkowitych większych niż 5
b) malejącego o wyrazach ujemnych

Rozwiązanie:
a) an = n + 5
Wyrazy ciągu: 6, 7, 8, 9, 10,…
b) an =
Wyrazy ciągu: , , -1, ,

Ćwiczenie 2
Oblicz trzy pierwsze wyrazy ciągu an. Określ, czy ciąg jest monotoniczny.
a) an =
b) an = 5n – 3

Rozwiązanie:
a) an =
a1 = = = 9
a2 = = = 16
a3 = = = 25
a4 = = = 36
a5 = = = 49

Wyrazy ciągu: 9, 16, 25, 36, 49,…
Ciąg jest monotoniczny rosnący.

b) an = -5n – 3
a1 = –5 * 1 – 3 = -5 – 3 = -8
a2 = –5 * 2 – 3 = -10 – 3 = -13
a3 = -5 * 3 – 3 = -15 – 3 = -18
a4 = -5 * 4 – 3 = -20 – 3 = -23
a5 = -5 * 5 – 3 = -25 – 3 = -28

Wyrazy ciągu: -8, -13, -18, -23, -28,…
Ciąg jest monotoniczny malejący.