Opracowanie:
Tabela sin cos

Tabela sin cos

Zweryfikowane

Trzy podstawowe funkcje trygonometryczne:
a)sinus
b)cosinus
c) tangens(nie będzie omawiany)

Sinus to stosunek przyprostokątnej dalszej od kąta sinusa i przeciwprostokątnej. Gdy kąt rośnie, to sinus także rośnie, co postaram się lepiej wyjaśnić obrazkami.

W tym przypadku sinus będzie wynosił a/c. Nasz kąt, na który będziemy zwracać uwagę zaznaczyłem grecką literą alfa. Widać, że przyprostokątna (bok przy kącie prostym) dalsza od kąta alfa oznaczona jet literą „a”, a przeciwprostokątna literą „c”.
Jak widać, kąt alfa został powiększony. W rezultacie powiększył się sinus, ponieważ zwiększył się także stosunek boków „a” i „c”. Z tej obserwacji można wywnioskować, że sinus zwiększa się razem z kątem, na podstawie którego określamy funkcje trygonometryczne.

Teraz kilka słów o cosinusie. Cosinus jest to stosunek przyprostokątnej bliżej kąta, na podstawie którego określamy funkcje trygonometryczne. Spójrzmy jeszcze raz na pierwszy rysunek.


Przyprostokątną bliżej kąta alfa jest „b”, a przeciwprostokątną „c”. Ich stosunek, a więc cosinus będzie wynosił b/c


Na tym rysunku widać, że zwiększył się kąt alfa, a razem z nim przeciwprostokątna. Widzimy jednak, że nasza przyprostokątna bliższa do kąta alfa nie zmieniła swojej długości. Gdy mianownik się zwiększa, a licznik zostaje taki sam, to wynik jest mniejszy, więc możemy wywnioskować, że cosinus zmniejsza się, gdy zwiększa się kąt.

Teraz przejdę już do samej tabeli sin i cos (dla kątów ostrych).

α


0∘


30∘


45∘


60∘


90∘


sinα


0


1/2


√2/2


√3/2


1


cosα


1


√3/2


√2/2


1/2


0


Na pierwszy rzut oka wygląda to dosyć skomplikowanie, ale tak naprawdę po zrozumieniu poprzednich etapów tego opracowania łatwo to zapamiętać.

Wcześniej powiedziałem, że sinus rośnie razem z kątem, który w tym przypadku to alfa. Można zobaczyć, jak sinus się zwiększa razem z miarą kąta. Natomiast cosinus pomniejszał się razem ze wzrostem miary kąta.

Teraz wyjaśnię same wartości.
a)0°
Gdy występuje kąt 0° to oznacza, że mamy prostą. Wtedy nie ma przyprostokątnej dalszej kąt 0°. Nie ma on prawa istnieć, ponieważ prosta jest jednowymiarowa. Gdyby byłby tam ten bok, to wtedy prosta byłaby dwuwymiarowa, co zaprzecza matematyce. Przeciwprostokątna dalsza i bliższa do kąta przyprostokątna nakładają się na siebie, a więc mają taką samą długość.
sin0°=0/x=0; cos0°=x/x=1

b)30° i 60°
Aby dojść do tego należy przypomnieć sobie wzory na trójkąt o miarach kątów 30 stopni, 60 stopni, 90 stopni.
sin30° = a/2a = 1/2; cos30° = a√3/2a =√3/2
sin60°=a√3/2a= √3/2; cos60°=a/2a =1/2

c)45°
W tym przypadku występuje trójkąt prostokątny równoramienny (90°, 45°, 45°), a więc przyprostokątne są takiej samej długości, więc cos i sin będą równe. Wzór na przeciwprostokątną takiego trójkątu(wynika z twierdzenia Pitagorasa): a√2(a to przyprostokątna).Więc sin45°=cos45°=a/a√2 =1/√2=√2/2.

d)90°
Poniżej zamieściłem inne wzory dotyczące funkcji trygonometrycznych potwierdzające ta tablelę. (yp – współrzędna y punktu p, xp – współrzędna x punktu p)

Powyższe zadanie zostało zweryfikowane przez nauczyciela
To top