Pochodna 1/x

Pochodna

Wstęp:
Wiesz już zapewne co to jest pochodna funkcji. Z tego opracowania przypomnisz sobie jaki jest wzór na wyznaczanie pochodnej prostej funkcji potęgowej oraz dowiesz się (z jego pomocą) jaki jest wzór pochodnej .

Wzór na wyznaczenie pochodnej (prostej) funkcji potęgowej:
Niech funkcja ma postać: f(x) = x n , gdzie „x” to argument funkcji, a „n” to wykładnik stojący przy x. Wówczas pochodna takiej funkcji będzie miała postać: f'(x) = n x n-1. Zauważmy co się stało. Gdy chcieliśmy wyznaczyć pochodną powyższej funkcji przepisaliśmy jej wykładnik „n” przed „x”, a sam wykładnik zmniejszył nam się o jeden. Przećwiczmy wyznaczanie pochodnej funkcji na poniższym przykładzie.

Przykład 1:
Wyznacz pochodną funkcji:
a) f(x) = x3
b) f(x) = 4x4
c) f(x) = 9
d) f(x) = 3x + 2
e) f(x) = 6x9 + 2x3 + x + 1

a) Funkcja ma postać f(x) = x3. Korzystając z powyższego wzoru wyprowadzamy wzór na pochodną: Trójkę przepisujemy przed x, a sam wykładnik zmniejsza nam się o jeden, czyli wyniesie 2 (3 – 1 = 2). A zatem nasza pochodna będzie miała postać: f'(x) = 3x2.

b) Funkcja ma postać f(x) = 4x4. Wyznaczamy pochodną: 4 z wykładnika wędruje nam przed x, a wykładnik zmniejsza się o 1, więc nasza pochodna będzie miała postać: f'(x) = 4 4x4-1 = 16x3.

c) Funkcja ma postać f(x) = 9. Zauważmy, że ta funkcja nie ma nigdzie „x” w swoim wzorze. Jest to tzw. funkcja stała, a pochodna takiej funkcji to po prostu 0, co zapisujemy: f'(x) = 0.

d) Funkcja ma postać f(x) = 3x + 2. Wyznaczając pochodną tej funkcji wyznaczamy pochodne poszczególnych jednomianów, które je tworzą, dodając je na koniec. Pochodna z 3x to będzie 3 (bo 3x = 3x1, czyli f'(x) = 3 1 x1-1 = 3x0 = 3), a pochodna z 2 to 0 (pochodna stałej). Więc nasza wyjściowa pochodna będzie miała postać: f'(x) = 3 + 0 = 3.

e) Funkcja ma postać f(x) = 6x9 + 2x3 + x + 1. Podobnie jak w powyższym podpunkcie wyznaczamy pochodne poszczególnych jednomianów, a potem dodajemy je do siebie. Czyli nasza pochodna będzie miała postać: f'(x) = 6 9x8 + 2 3x2 + 1x0 + 0 = 54x8 + 6x2 + 1.

Pochodna :
Korzystając z poznanego wcześniej wzoru da się też obliczyć pochodną funkcji (jeśli wiemy, że = x-1):
f'(x) = ()’ = (x-1)’ = -1 x-1-1 = -1 x-2 = -1 ()2 = -1 = . A zatem pochodna z to . Na tej podstawie możemy wyznaczyć wzór:
f'(x) = ()’ = , gdzie „x” to argument funkcji, „n” to wykładnik stojący przy „x”, a „k” to dowolna liczba rzeczywista. Liczbę „n” przerzucamy do licznika i mnożymy ze znajdującą się tam liczbą, a sam wykładnik zwiększa się nam o 1. Dodatkowo przed tak otrzymanym ułamkiem pojawia się minus. Przećwiczmy poznany wzór na poniższym przykładzie.

Przykład 2:
Wyznacz pochodną funkcji:
a) f(x) =
b) f(x) =
c) f(x) =

a) f(x) = (= ) , czyli f'(x) = = .

b) f(x) = , czyli f'(x) = = .

c) f(x) = . Podobnie jak w „Przykładzie 1” (podpunkty d i e) wyznaczamy pochodne poszczególnych jednomianów, a potem dodajemy je do siebie. Zatem nasza pochodna będzie miała postać: f'(x) = ( ) + () =
(co można jeszcze uprościć do )

Podsumowanie:
W tym opracowaniu powtórzyłeś sobie „ogólny” wzór na wyznaczenie pochodnej funkcji oraz przećwiczyłeś sobie jego użycie. Poznałeś też pochodną funkcji oraz sposób na wyznaczenie pochodnej prostej funkcji wymiernej.