Wyznaczniki

Wyznaczniki
Metoda wyznacznikowa przydaje nam się przy rozwiązywaniu układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi w postaci ax+bx=c. Metoda ta polega na zastosowaniu dwóch wzorów Cramera, opiera się na wyliczeniu trzech wyznaczników.
Nie jest to popularna metoda uczona i stosowana w szkole, natomiast często używa się jej w programowaniu. W porównaniu do metody podstawiania i metody przeciwnych współczynników, tutaj trzeba zapamiętać schemat działania.
Wzory Cramera: x= oraz y=

Jeżeli W≠0, to układ równań ma jedno rozwiązanie, które wyznaczamy za pomocą wzorów Cramera.
Jeżeli W=0, Wx=0 i Wy=0, to układ równań jest nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań).
Jeżeli W=0, a Wx≠0 i Wy≠0, to układ równań jest sprzeczny (nie ma rozwiązań).


Przykładowe zadanie z układem równań oznaczonym:
Rozwiąż układ równań metodą wyznaczników:

Rozwiązanie:
Już na początku możemy zauważyć, że oba równania są zapisane w odpowiedniej formie (ax+by=c), więc od razu możemy wyliczyć W, Wx i Wy. Dla ułatwienia odpowiednie wyznaczniki zostały zaznaczone kolorem.
Wyznaczniki zapisujemy odpowiednio według początkowo pokazanej metody.
Obliczamy odpowiednio wyznaczniki – mnożymy na krzyż i odejmujemy od siebie.
Korzystamy ze wzorów Cramera (x= i y= ).
Wyliczamy i dostajemy liczby spełniające układ równań.

Przykładowe zadanie z układem równań nieoznaczonym:
Rozwiąż układ równań metodą wyznaczników:

Rozwiązanie:
Układ równań rozwiązujemy dokładnie tak samo jak poprzedni – według początkowo pokazanej metody.
Po rozwiązaniu układu równań metodą wyznaczników możemy zauważyć, że W, Wx i Wy są równe 0. Oznacza to, że jest to układ równań nieoznaczony – ma nieskończenie wiele rozwiązań. Nie musimy zatem korzystać ze wzorów Cramera.

Przykładowe zadanie z układem równań sprzecznym (układ równań, który nie ma rozwiązań):
Rozwiąż układ równań metodą wyznaczników:

Rozwiązanie:
Układ równań rozwiązujemy dokładnie tak samo jak dwa poprzednie – według początkowo pokazanej metody.
Zauważmy, że W=0, a Wx≠0 i Wy≠0. Oznacza to, że ten układ równań nie ma rozwiązań (jest sprzeczny). Wynika to z tego, że gdybyśmy próbowali podstawić otrzymane wyniki do wzorów Cramera musielibyśmy podzielić przez 0, co nie dałoby nam żadnego wyniku.