Pierwiastek z 12

Pierwiastek z dwunastu

W tej notatce pokażę wszystkie informacje i ciekawostki dotyczące pierwiastka z dwunastu. Dowiesz się również, gdzie można spotkać ten pierwiastek i czy występuje w jakiś wzorach. Można myśleć, że nie da się rozpisać o konkretnym pierwiastku, ale po przeczytaniu tej notatki chyba zmienisz zdanie. Miłej lektury!

Zacznijmy od podstaw:
> pierwiastek – pierwiastek n-tego stopnia z liczby a równa się b, gdy b do potęgi n-tej jest równe a ( gdy )

My zajmiemy się pierwiastkiem kwadratowym z dwunastu. Korzystając więc z powyższej definicji możemy stwierdzić, że:
n = 2
a = 12 ponieważ
b = √12

INFORMACJE O PIERWIASTKU KWADRATOWYM Z DWUNASTU:
> –> pierwiastek z dwunastu należy do zbioru liczb niewymiernych, ponieważ nie da się go zapisać za pomocą ilorazu dwóch liczb całkowitych

Zadanie 1: Udowodnij, że liczba √12 jest niewymierna.

Przed rozpoczęciem rozwiązywania, przypomnij sobie:
> dowód nie wprost – zaprzeczenie tezy i wykazanie, że przyjęcie takiego zaprzeczenia prowadzi do sprzeczności, w takim razie dane twierdzenie musi być prawdziwe;
> liczby względnie pierwsze – liczby całkowite, których największym wspólnym dzielnikiem jest liczba jeden

Z: √12
T:
D: dowód nie wprost – zaprzeczamy tezie
–> czyli zakładamy, że pierwiastek z dwunastu należy do zbioru liczb wymiernych (czyli takich, które można zapisać jako iloraz dwóch liczb całkowitych, z czego dzielnik musi być różny od zera)
gdzie p, q Z; q ≠ 0; p i q są względnie pierwsze; –> podnieśmy obie strony równania do kwadratu

komentarz: po lewej stronie równości mamy nieparzystą liczbę dwunastek, natomiast po prawej stronie równości mamy parzystą liczbę dwunastek, więc równość ta jest sprzeczna. W takim razie teza jest prawdą.

CKD (co kończy dowód)

> √12 = √4 * √3 = 2√3 –> pierwiastek kwadratowy z dwunastu można zapisać jako iloczyn liczby 2 i pierwiastka kwadratowego z trzech (podwojony pierwiastek z trzech)

> –> zapis pierwiastka kwadratowego z dwunastu jako dwanaście podniesione do potęgi 0,5

> –> przybliżenie pierwiastka z dwunastu (zazwyczaj jednak będzie się przyjmować zaokrąglenie do dwóch miejsc po przecinku, czyli 3,46)

Zadanie 2: Usuń niewymierność z mianownika i oblicz.

Zadanie 3: Oblicz.