Wzór na sumę ciągu geometrycznego

Suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

Sn-suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

jeśli q=1, czyli ciąg an jest stały

n składników

zatem otrzymujemy dwa wzory, które są zależne od wartości jaką przyjmuje q:

,jeśli

,jeśli ≠

Spróbujmy użyć tych wzorów w konkretnych przykładach:

przykład 1:

Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego (an) o ilorazie q, jeśli ,

Na samym początku możemy zdecydować, którego wzoru użyjemy, aby rozwiązać ten przykład. Z treści zadania wynika, że , czyli q nie jest równe 1, zatem przydatny dla nas wzór to: . Wiemy też, że nasze n=6, ponieważ interesuje nas sześć pierwszych wyrazów ciągu. Podstawmy więc nasze dane do wzoru:

Naszym zadaniem było obliczenie sześciu początkowych wyrazów ciągu, stąd .

przykład 2:

Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego (an) o ilorazie q, jeśli ,

Ponownie interesuje nas sześć pierwszych wyrazów, zatem nasze n jest równe 6.
q znów nie jest równe 1, zatem ponownie użyjemy tego samego wzoru co w poprzednim przykładzie

W pewnym momencie pomnożyliśmy przez , aby pozbyć się niewymierności z mianownika.

przykład 3:

Suma czterech początkowych wyrazów ciągu geometrycznego jest równa . Oblicz pierwszy wyraz nieskończonego ciągu geometrycznego, jeśli iloraz tego ciągu wynosi .

Wiemy, że:
Suma czterech początkowych wyrazów, czyli oraz że i

W takim wypadku również skorzystamy ze wzoru na sumę:

przykład 4:

Suma dziewięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego jest równa . Oblicz dziewiąty wyraz tego ciągu wiedząc, że iloraz ciągu jest równy 2.

Mamy podaną sumę dziewięciu wyrazów początkowych, czyli: z czego widzimy, że oraz iloraz, czyli .

Ten przykład, tak samo jak poprzednie zawiera iloraz różny od 1, zatem znów użyjemy tego samego wzoru co poprzednio.

Musimy obliczyć dziewiąty wyraz tego ciągu zatem skorzystamy ze wzoru:

Dziewiąty wyraz tego ciągu jest równy 64.

przykład 5:

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 729, a ostatni 96. Wiedząc, że suma wyrazów tego ciągu wynosi 1995, oblicz iloraz oraz liczbę wyrazów tego ciągu.

Wiemy, że:
pierwszy wyraz, czyli
ostatni wyraz, czyli
suma, czyli

Na początek musimy skorzystać z określenia ciągu geometrycznego:

, podstawmy:

(*) ta zależność została zaznaczona symbolem, ponieważ będzie ona nam potrzebna w dalszej części zadania

korzystamy z zaznaczonej zależności:

– tym sposobem obliczyliśmy już połowę naszego zadania

przejdźmy do obliczenia liczby wyrazów tego ciągu – liczba wyrazów ciągu oznaczana jest literką n, mamy już zależność w której to n występuje, oznaczyliśmy je symbolem i ponownie go użyjemy:

teraz podstawimy

aby obliczyć n, zapiszmy ułamek znajdujący się po prawej stronie tak, aby podstawą był ułamek i aby podniesiony do danej potęgi wciąż był równy

n oznacza liczbę wyrazów ciągu, zatem możemy już stwierdzić, że dany ciąg ma 6 wyrazów – odpowiedź na drugą część polecenia

przykład 6:

Ciąg geometryczny ma cztery wyrazy, których suma jest równa 130. Średnia arytmetyczna wyrazów skrajnych jest równa 35. wyznacz ten ciąg.

Zakładamy, że naszym ciągiem jest , w którym: i

Z wypisanych warunków możemy utworzyć układ równań:

w kolejnym kroku wykorzystamy określenie ciągu geometrycznego:

dzielimy równania stronami:

w tym momencie musimy wprowadzić założenie, że mianownik nie może być równy 0, czyli
≠
≠
≠

sprzeczność, ponieważ założyliśmy, że q nie może być równe -1

otrzymane q1 i q2 zgodne z naszymi założeniami musimy podstawić do wzoru, aby otrzymać a, b, c oraz d

dla

czyli , , ,

dla

, , ,

odpowiedź: (16, 24, 36, 54) lub (54, 36, 24, 16)