Metoda równań równoważnych

Metoda równań równoważnych to sposób rozwiązywania równań. Polega ona na przekształcaniu danego równania tak, aby po każdym kolejnym kroku było ono równoważne do danego równania, a zarazem prostsze do rozwiązania. Metoda równań równoważnych jest nazywana również metodą działań obustronnych.

Równania równoważne to równania, które mają taki sam zbiór rozwiązań, np.
3x = 9, 3x – 7 = 2 oraz 12 + 3x = 21

Stosując metodę równań równoważnych działamy na obu stronach równania, np. mnożąc obie strony przez pewną liczbę.
Możemy skorzystać z poniższych twierdzeń:

Twierdzenie 1.
z – dowolna liczba lub wyrażenie
x = y x + z = y + z
Jeśli do obu stron równania dodamy dowolną liczbę lub wyrażenie, równanie będzie równoważne. Twierdzenie można zastosować również z odejmowaniem (dodawaniem liczby przeciwnej).

Twierdzenie 2.
z ≠ 0
x = y xz = yz
Jeśli obie strony równania pomnożymy przez liczbę lub wyrażenie różne od zera, równanie będzie równoważne. Twierdzenie można zastosować również z dzieleniem (mnożeniem przez odwrotność).

Przykład rozwiązania równania metodą równań równoważnych:
| mnożymy obie strony równania przez 2
|+ do obu stron równania dodajemy wyrażenie 4x
|+ do obu stron równania dodajemy 7
|: obie strony równania dzielimy przez 3