Kombinacje

Kombinacje

Kombinacje- słowo to pewnie nie jest nikomu obce. Mówi się, że trzeba kombinować, aby jakoś przetrwać w dzisiejszych czasach. Tutaj wchodzą już tematy filozoficzne, a mamy się zająć przecież matematyką. Idealnie potwierdza to nam przekonanie, o tym że „matematyka jest królową nauk”. Słowami wstępu nie do końca opowiedziałem czym są właściwie kombinacje w matematyce, ale myślę, że zmotywowałem do chęci ich głębszego poznania.
Generalnie dzięki kombinacjom możemy dowiedzieć się na ile sposobów jesteśmy w stanie wybrać wytypowaną przez nas liczbę elementów z jakiegoś zbioru. Np. proszę sobie wyobrazić, że jest się trenerem drużyny piłkarskiej. Mamy do dyspozycji trzydziestu zawodników, a na murawę może wejść tylko jedenastu z nich. Aby zadecydować, który sposób byłby najlepszy, warto przemyśleć każdą możliwą kombinacje. Wtedy zadajemy sobie pytanie „Na ile sposobów możemy wybrać 11 zawodników w drużynie 30 osobowej?”. Na odpowiedź na to pytanie z pomocą przychodzi nam ten wzór:

= k- liczba elementów, którą chcemy wybrać n- elementowy zbiór

Symbol nazywamy symbolem Newtona lub współczynnikiem dwumianowym.

Wiedząc jakie jest zastosowanie, wzór oraz definicja kombinacji spróbujmy rozwiązać zadanie. Skorzystajmy z przykładu z drużyną piłkarską.

Zadanie 1.
Dane: Rozwiązanie: Odpowiedź:
k= 11
n= 30 Jedenastu zawodników można wybrać w zespole 30 osobowym na 54627sposobów.
= ?

W ten sposób rozwiązujemy zadania na kombinacje. Jak widzimy przed trenerem stoi dość duże wyzwanie :D.

Kombinacje spełniają dwa warunki:
-obejmują wyłącznie wskazaną liczbę k spośród danych n elementów.
-kolejność elementów kombinacji nie jest istotna

Definicje:
Kombinacją k- elementową bez powtórzeń n-elementowego zbioru A nazywamy każdy k-elementowy podzbiór zbioru A, przy czym elementy zbioru A nie mogą się powtarzać oraz i
Liczbę k-elementowych kombinacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego oznaczamy symbolem ,gdzie i

Na zakończenie zróbmy jeszcze jedno zadanie. Pomyślmy ile jest możliwych wyników losowania dużego lotka?

Zadanie 2.
Ile jest możliwych wyników losowania dużego lotka? W dużym lotku mamy do wyboru 6 liczb spośród 49 zatem:

= =

Odpowiedź: W dużym lotku jest 13983816 możliwych wyników losowania.