Nierówności wielomianowe

Wielomiany są wyrażeniami algebraicznymi będącymi jednocześnie sumą jednomianów. Są one funkcjami, które mogą nam posłużyć do opisania wielu zjawisk, bardziej czy mniej powszechnych w życiu codziennym. Najczęściej znajdziemy je oczywiście na stronach podręczników szkolnych, jednak można równie dobrze przedstawić zależność pomiędzy prędkością a liczbą obrotów na minutę silnika łodzi motorowej, przy czym ten pierwszy czynnik zapisać właśnie w postaci wielomianowej.

Ćwiczenie 1
Rozwiąż nierówność > 0

Najpierw należy rozłożyć wielomian pod postacią na czynniki

x = 0
x – 3 = 0, więc x = 3
x + 3 = 0, więc x = -3
Argumentami nierówności są liczby: -3, 0, 3.
Skoro w(x) > 0 to zbiorem rozwiązań wielomianu jest

Jeśli nie potrafisz wyobrazić sobie wykresu w głowie, można sobie wspomóc rysunkiem. W tym wypadku rysujesz układ współrzędnych, na którym zaznaczasz swoje argumenty na osi poziomej X. W tym wypadku masz 3 rozwiązania, kolejno -3, 0 i 3. Zaczynasz rysować od prawej strony, sunąc ołówkiem w lewo. Jednak teraz stajesz przed wyborem – zacząć od góry czy dołu? Spójrzmy jeszcze raz na końcowy wzór: . Sprawdzasz wszystkie współczynniki leżące przed znakiem x. W tym wypadku wszędzie masz 1 (którego nie widać, gdyż nie ma potrzeby zapisywania liczby 1 przed literami), co widać przy dokładniejszej rozpisce: . Wszystkie iksy są dodatnie, dlatego też zaczynasz od dodatniej strefy – czyli od góry. Docierasz do pierwszego argumentu – 3 – i powstaje kolejne pytanie: skierować linię na drugą stronę osi X czy może odbić? Odpowiedź jest prosta: jeżeli Twoje rozwiązanie jest zawarte w liczbach nieparzystych – przebijasz na drugą stronę, jeśli zaś ich liczba jest parzysta – odbijasz wykres. W naszym przypadku każdy x pojawia się tylko raz, czyli wszystkie z nich są nieparzyste. Tworzysz 'górkę’ w IV ćwiartce tworząc swego rodzaju parabolę między 3 i 0. Docierasz do środka układu współrzędnego i znowu znajdujesz się nad linią OX, tworząc wzniesienie opadające ku -3. W taki sposób na rysunku powinna powstać fala trzykrotnie przecinająca oś X. Pozostaje ostatnia zagadka: którą część wykresu należy wziąć? Już wyjaśniam: jeżeli wielomian ma być większy od zera – zapisujemy wynik zawarty w górnej części wykresu; jeśli zaś na być ujemny – bierzemy do wyniku liczby znajdujące się pod linią osi X. A co w przypadkach z ? Równie proste rozwikłanie zagadki: wtedy przy styku wykresu z osią X, wynik domykasz nawiasem kwadratowym, a nie okrągłym, jak w przykładzie.

*inf – infinity (pol: nieskończoność)