Nierówności wykładnicze

Jak wiemy, funkcja wykładnicza jest postaci: (a > 0 oraz a różne od 1) i co ważne, . Przykładowe funkcje wykładnicze przedstawione są wykresach obok. W zależności od podstawy a, funkcja jest rosnąca lub malejąca. Gdy , a funkcja jest postaci , jest ona malejąca. W przypadku gdy a jest większe od 1 ( a > 1 ), funkcja określona tym samym wyżej wymienionym wzorem, jest funkcją rosnącą. Jeśli jednak a wynosi 1 ( a = 1 ), funkcja ta jest stałą –> f(x)=1.

Przeanalizujmy teraz ilustrację z wykresami. Gdybyśmy wzięli do ręki linijkę, bądź jakąkolwiek inną prostą, równoległą do osi OX, a następnie przyłożyli ją do wykresu (równolegle do OX), moglibyśmy zauważyć, że wykres ten jest przecinany przez tą naszą prostą co najwyżej raz. Oznacza to nic innego, jak własność funkcji nazywaną różnowartościowością. Własność ta polega na tym, że funkcja nigdy nie przyjmie tej samej wartości dla dwóch różnych argumentów.

Poza „tradycyjnymi” zadaniami z funkcji wykładniczej możemy spotkać się z nierównościami wykładniczymi. Poniżej przedstawię sposób ich rozwiązywania.

Zadanie 1 Rozwiąż nierówność.

< 4
<
Teraz możemy narysować sobie przybliżony wykres takiej funkcji. Zauważamy, że jest ona rosnąca. W związku z tym, rozwiązanie możemy napisać w następującej postaci:
x<2

Rozwiązaniem jest obszar zaznaczony areografem, poniżej przerywanej niebieskiej linii.

Zadanie 2 Rozwiąż nierówność

0,125

Znów możemy narysować sobie przybliżony wykres, określając jednocześnie monotoniczność funkcji. Widzimy, że jest ona rosnąca. Możemy posłużyć się następującym schematem:

dla a>0 i a różnego od 1 oraz możemy napisać równość:

Wracając do przykładu możemy napisać nierówność:

To jest odpowiedź oraz rozwiązanie nierówności. Rozwiązaniem jest obszar zaznaczony areografem, powyżej niebieskiej linii.