Geometria nieeuklidesowa

Ze szkoły podstawowej jesteśmy przyzwyczajeni do geometrii euklidesowej, czyli na tzw. płaszczyźnie euklidesowej. Została ona opisana w IV wieku p.n.e. przez greckiego matematyka Euklidesa w jego dziele „Elementy”. W tej „tradycyjnej” geometrii kąty w trójkącie sumują się zawsze do , najkrótszą drogą pomiędzy dwoma punktami jest zawsze odcinek łączący te punkty, a dwie proste mogą się przecinać co najwyżej raz. Wszystkie te właściwości wynikają z aksjomatów ustalonych w „Elementach”, a następnie dopracowanych w 1899 roku przez Davida Hilberta. Jeśli jednak zmienimy te początkowe założenia możemy dojść do zupełnie innych systemów geometrycznych – tzw. geometrii nieeuklidesowej.

Jedną z takich geometrii jest geometria hiperboliczna. Wynika ona z zastąpienia aksjomatu o równoległości prostych aksjomatem, który twierdził, że przez punkt nieleżący na prostej k można przeprowadzić co najmniej dwie różne od siebie proste rozłączne (nieposiadające punktów wspólnych) z prostą k. Założenie to prowadzi do zakrzywienia płaszczyzny i nadanie jej charakterystycznego kształtu. W geometrii hiperbolicznej suma kątów w trójkącie jest zawsze mniejsza od .

(źródło zdjęcia: Wikipedia)
Kształt płaszczyzny hiperbolicznej

Inną z geometrii nieeuklidesowych jest geometria sferyczna. W tej geometrii płaszczyzna przyjmuje kształt kuli. Geometria ta ma oczywiste praktyczne zastosowanie w geografii. W geometrii sferycznej suma kątów w trójkącie jest zawsze większa od .

(źródło zdjęcia: Wikipedia)
Kształt płaszczyzny sferycznej