Oś symetrii paraboli

Oś symetrii paraboli

Oś symetrii, to prosta, która dzieli figurę na dwie przystające części. Figury mogą mieć jedną oś symetrii, jak na przykład trójkąt, lub kilka, tak jak kwadrat, albo nieskończenie wiele jak koło czy prosta. A jak to jest z wykresem funkcji kwadratowej?

Jak pamiętamy, wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, której – w zależności od parametru , ramiona mogą być skierowane w dół albo w górę. Osią symetrii paraboli jest prosta równoległa do osi OY, która dzieli ją na dwie równe, symetryczne części.

Wiadomości teoretyczne

Poniżej znajdują się najważniejsze wzory i właściwości osi symetrii paraboli, które pomogą przy rozwiązywaniu zadań.

Dla funkcji kwadratowej określonej wzorem równanie prostej osi symetrii paraboli wyznacza się wzorem
Oś symetrii paraboli przechodzi zawsze przez wierzchołek paraboli, dzięki czemu równanie symetrii paraboli możemy szybko odczytać ze współrzędnej jej wierzchołka
Parabola ma dokładnie jedną oś symetrii

Wyznaczanie równania osi symetrii paraboli

Aby wyznaczyć równanie osi symetrii paraboli, wystarczy skorzystać ze wzoru

Przykład I

Wyznacz równanie osi symetrii wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem:

Podstawiamy do wzoru:

Oś symetrii ma równanie

Przykład II

Na wykresie funkcji kwadratowej określonej wzorem leży punkt A=(0,−5). Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu x=7. Znajdź wzór tej funkcji.

Aby znaleźć wzór funkcji, musimy obliczyć współczynnik b i współczynnik c trójmianu. W tym celu konstruujemy układ równań z podanych danych.

Ze wzoru na oś symetrii paraboli

Z informacji, że na paraboli leży punkt A=(0,-5)

Z tych dwóch równań wychodzi, że:

Współczynnik b trójmianu kwadratowego wynosi -14.

Współczynnik c trójmianu kwadratowego wynosi -5.

Zatem wzór funkcji kwadratowej to: .

Zadania sprawdzające

Teraz dla utrwalenia wiadomości spróbuj wykonać kilka zadań sam. Niżej znajdziesz rozwiązania i odpowiedzi.

Zadanie 1

Wskaż równanie osi symetrii funkcji kwadratowej o wzorze :

a) x = 2
b) x = 20
c) x =

Zadanie 2

Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie (-4, 7). Wskaż równanie jej osi symetrii.

a) x = 7
b) x =-4
c) Za mało informacji do obliczenia

Zadanie 3

Wyznacz równanie osi symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji y = (x-5)(x+15)

a) x = 5
b) x= -5
c) x = -15

Odpowiedzi do zadań

Zadanie 1

Korzystamy ze wzory na symetrię paraboli:

Odpowiedź C

Zadanie 2

Wiemy, że oś symetrii jest prostą równoległą do osi OY, przechodzącą przez wierzchołek paraboli, zatem jej równanie to x = -4

Odpowiedź B

Zadanie 3

Wyznaczamy współrzędną p wierzchołka paraboli, znając jej pierwiastki

Wiemy, że oś symetrii paraboli przechodzi przez pierwszą współrzędną jej wierzchołka, zatem równanie osi symetrii to x = -5

Odpowiedź: B

Dziękuję za przeczytanie 🙂