Wzór na pole sześciokąta foremnego

Wzór na pole sześciokąta foremnego

Sześciokąt foremny – wielokąt wypukły, który ma wszystkie boki równej długości i kąty równej miary. Suma jego kątów, tak jak w każdym innym sześciokącie wynosi 720°.

Właściwości sześciokąta foremnego:
–jego pole powierzchni jest równe
-można go podzielić na sześć trójkątów równobocznych
-każdy jego kąt wewnętrzny ma miarę 120°
-każdy jego kąt środkowy okręgu opisanego ma miarę 60°
-promień okręgu opisanego na sześciokącie to R=a (gdzie R to promień okręgu i a to bok sześciokąta)
-promień okręgu wpisanego w sześciokąt to
-obwód ma długość 6a
-dłuższa przekątna ma długość 2a
-krótsza przekątna ma długość

Pole powierzchni sześciokąta foremnego:
Pole powierzchni jest równe polu sześciu trójkątów równobocznych, możemy więc wyprowadzić wzór:
Pole powierzchni trójkąta równobocznego:
Pole powierzchni sześciokąta foremnego:

Pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg:
a=R

Pole sześciokąta foremnego opisanego na okręgu:
, wyprowadzenie wzoru:
, więc

Przykładowe zadanie:
Oblicz pole sześciokąta foremnego o boku równym 7 cm.
Rozwiązanie:
Krok 1: Podstawiamy dane do poznanego wzoru:
cm2

Przykładowe zadanie:
Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg o obwodzie 40π.
Rozwiązanie:
Krok 1: Wyznacz promień okręgu, czyli również długość boku sześciokąta foremnego.
2πr=40π
r=a=20
Krok 2: Oblicz pole:

Przykładowe zadanie:
Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu 2π.
Rozwiązanie:
Krok 1: Oblicz promień, korzystając ze wzoru na pole koła:


Krok 2: Oblicz pole sześciokąta foremnego:

Przykładowe zadanie:
Pole sześciokąta foremnego wynosi cm2. Oblicz jego obwód.
Rozwiązanie:
Krok 1: Obliczamy bok sześciokąta foremnego, podstawiając dane do wzoru na pole.

|
|÷


[cm]
Krok 2: Obliczamy obwód sześciokąta foremnego:
[cm]

Przykładowe zadanie:
Krótsza przekątna sześciokąta foremnego jest równa cm. Obliczy pole, obwód, długość dłużej przekątnej tego sześciokąta oraz pole i obwód koła wpisanego w sześciokąt foremny.
Rozwiązanie:
Krok 1: Wyznacz długość boku sześciokąta foremnego:
|÷
cm
Krok 2: Oblicz pole sześciokąta, korzystając ze wzoru:
[cm2]
Krok 3: Oblicz obwód sześciokąta, korzystając ze wzoru:
[cm]
Krok 4: Oblicz długość dłużej przekątnej, skorzystaj ze wzoru:
[cm]
Krok 5: Oblicz promień okręgu, tutaj przyda się wzór na wysokość trójkąta równobocznego:

Krok 6: Oblicz pole okręgu opisanego na sześciokącie, skorzystaj ze wzoru:

Krok 7: Oblicz obwód koła, którego wzór to: