Funkcja wymierna

Funkcja wymierna

Funkcja wymierna – funkcja, która jest ilorazem dwóch wielomianów.
Wzór funkcji wymiernej:
, gdzie i są wielomianami, a nie jest wielomianem zerowym.
Wykres funkcji wymiernej i każdą krzywą powstałą z tego wykresu przez przesunięcie o pewien wektor nazywamy hiperbolą.

Własności funkcji :
-dziedziną funkcji jest D=R{0}
-dla x<0 funkcja przyjmuje wartości ujemne, natomiast dla x>0 wartości dodatnie
-funkcja nie ma miejsc zerowych
-funkcja jest malejąca w przedziałach
-asymptotą poziomą funkcji jest y=0, a pionową x=0

Czym jest asymptota?
Asymptota to prosta, do której gałęzie wykresu funkcji „się zbliżają”.

Dziedzina funkcji:
Aby obliczyć dziedzinę funkcji należy przyrównać mianownik do zera, oznacza to, że dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych, które są pierwiastkami wielomianu w mianowniku.
D=R{x:G(x)=0}

Zbiór wartości:
Zbiorem wartości funkcji wymiernej jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem wartości, którą wyznacza asymptota pozioma.

Monotoniczność funkcji:
Wykres funkcji składa się z dwóch części. Funkcja wymierna może być albo w przedziałach malejąca albo w przedziałach rosnąca.

Miejsca zerowe:
Za y podstawiamy 0 i rozwiązujemy równanie wymierne.

Przesunięcie wykresu funkcji o wektor:
Wykres funkcji y=f(x-a) otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji o a jednostek w prawo lub lewo, czyli o wektor[a,0]:
-jeżeli a>0, to wykres funkcji przesuwamy w prawo
-jeżeli a<0, to wykres przesuwamy w lewo Wykres funkcji y=f(x)+q otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji o q jednostek w górę lub dół, czyli o wektor[0,q]:
-jeżeli q>0, to wykres funkcji przesuwamy w górę
-jeżeli qPrzykład:
Wykres funkcji otrzymujemy przez przesunięcie hiperboli o 4 jednostki w prawo i 2 jednostki w górę , czyli o wektor [4,2].

Funkcja homograficzna:
Funkcją homograficzną nazywamy funkcję w postaci ogólnej lub postaci kanonicznej .
Własności funkcji homograficznej:
-asymptotami wykresu funkcji w postaci ogólnej jest asymptota pionowa x= i pozioma y= , a w postaci kanonicznej są to proste x=p i y=q
-dziedziną funkcji jest D=R{}
-zbiorem wartości jest Zw=R{}
-dla ad-dla ad>bc funkcja rosnąca przedziałami

Przekształcenia wykresu funkcji:
Przykład:
Naszkicuj wykres funkcji y=||

Wykres tej funkcji otrzymujemy poprzez odbicie symetryczne względem osi OX tej części wykresu, która znajduje się pod osią OX. Dzieje się tak dlatego, że wyrażenie zapisane w wartości bezwzględnej nie może być ujemne.

Równania wymierne
Przykład:
Rozwiąż równanie:
Pierwsze musimy wyznaczyć dziedzinę równania, robi się to, przyrównując mianownik do liczby 0:


czyli {-1, 1}
Po wyznaczeniu dziedziny przyrównujemy licznik do 0:

Δ=

Liczba -1 nie zawiera się w dziedzinie równania, więc jest to równanie sprzeczne.

Nierówności wymierne:
Nierówności wymierne rozwiązujemy podobnie jak równania, różnicą jest to, że trzeba narysować wykres. Kiedy mamy do czynienia z nierównością, to dla dowolnych liczb rzeczywistych a≠0 i b≠0 znak ilorazu jest taki sam jak iloczynu .
Przykład:
Rozwiąż nierówność
Zakładamy, że ≠0, czyli x≠





Miejscami zerowymi są liczby 5 – , rysujemy parabolę:

Odczytujemy rozwiązanie w wykresu:

Przykładowe zadanie:
Naszkicuj wykres funkcji i podaj jej przedziały monotoniczności.
Rozwiązanie:
Z własności wartości bezwzględnej: |3-x|=|x-3|
Krok 1: Pierwsze narysuj funkcję:

Krok 2: Później naszkicuj wykres funkcji:

Krok 3: Teraz przesuń wykres funkcji o wektor [3.1]:

Z rysunku odczytujemy, że funkcja f jest rosnąca w przedziale i malejąca w przedziale .

Przykładowe zadanie:
Rozwiąż nierówność wymierną .
Rozwiązanie:
Krok 1: Wyznacz założenia, czyli dziedzinę funkcji:
≠ i ≠
x≠1, x≠-1, x≠0
D=R{-1, 0, 1}
Krok 2: Rozwiąż nierówność:





Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji:
Najpierw obliczmy deltę z pierwszego wyrazu:
Δ=(-1)2–443 <0, delta jest ujemna, więc pozostałe miejsca zerowe to:
x=-1, x=1, x=0
Krok 3: Narysuj wykres funkcji:

Zatem:

Przykładowe zadanie:
Określ dziedzinę funkcji .
Rozwiązanie:
, ≠ i >
, ≠2, ≠ i >
Czyli: