Ciąg arytmetyczny wzory

Ciąg arytmetyczny wzory

Witajcie! Ciąg arytmetyczny razem z ciągiem geometrycznym jest jednym z maturalnych pewniaków.
W tym opracowaniu opowiem trochę o tym czym jest ciąg arytmetyczny, w czym znajduje on swoje zastosowanie, oraz przedstawię zależności i wzory, które będą potrzebne do rozwiązywania zadań.

Ciąg arytmetyczny – co to takiego?

Ciąg arytmetyczny, to ciąg, którego kolejne wyrazy różnią się o tą samą wartość – nazywana wartością r, czyli różnicą ciągu. Spójrzmy na przykłady:

2, 5, 8, 11, 14, 17…

Zauważamy, że każdy kolejny wyraz jest o 3 większy od poprzedniego.
Oznacza to, że różnica ciągu () jest równa 3

-1, -6, -11, -16, -21, -26

Zauważamy, że każdy kolejny wyraz jest o 5 mniejszy od poprzedniego.
Oznacza to, że różnica ciągu () jest równa -5

Różnica ciągu

Aby obliczyć różnicę ciągu, wystarczy od większego wyrazu, odjąć poprzedni wyraz ciągu

Inaczej wzór ten możemy zapisać w postaci:

Słownie definiując ten wzór, mówimy że każdy wyraz ciągu arytmetycznego oprócz wyrazu pierwszego powstaje przez dodanie różnicy ciągu do wyrazu poprzedniego.

Ważne!

Gdy ciąg jest arytmetyczny, różnica ciągu musi być liczbą stałą, należącą do zbioru liczb rzeczywistych

Co reszta mówi nam o ciągu?

Gdy > 0 – ciąg jest rosnący
Gdy = 0 – ciąg jest stały
Gdy < 0 - ciąg jest malejący

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego () o pierwszym wyrazie i różnicy ma postać:

Jeśli więc znamy pierwszy wyraz i różnicę ciągu, to korzystając ze wzoru ogólnego tego ciągu, możemy obliczyć jego dowolny wyraz.

Przykład I
Oblicz czwarty, szósty i dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie 4 i różnicy 2.

Podstawiamy do wzoru:

Ponieważ

Ponieważ

Przykład II
Dany jest nieskończony ciąg arytmetyczny () = -2, -8, -14, -20…
Oblicz dziesiąty wyraz tego ciągu.

Wiemy, że aby policzyć dziesiąty wyraz ciągu, musimy znać pierwszy wyraz i różnicę.

a pamiętając że różnica jest równa obliczamy ją podstawiając dwa wyrazy:

Zatem różnica ciągu wynosi -6.
Teraz mamy już wszystkie dane potrzebne do policzenia dziesiątego wyrazu ciągu. Podstawiamy więc dane do wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego

Odpowiedź: Dziesiąty wyraz tego ciągu jest równy -56.

Inne własności ciągu arytmetycznego

Znamy też inne przydatne wzory i zależności w ciągu arytmetycznym, które często mogą pomóc nam w zadaniach.

Każdy wyraz ciągu arytmetycznego oprócz pierwszego i ostatniego, jest średnią arytmetyczną swoich sąsiadów

Wzór:

Na przykład dla ciągu arytmetycznego () = 2, 5, 8, 11, 14…

Przykład

Oblicz czwarty wyraz ciągu arytmetycznego, jeżeli trzeci wyraz jest równy 5, a piąty jest równy -3

Odpowiedź: Czwarty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 1.

Wzór na sumę początkowych wyrazów ciągu

Aby policzyć sumę kilku początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, oprócz dodawania ich po kolei do siebie, możemy skorzystać ze wzoru:

gdzie to pierwszy wyraz ciągu, to wyraz do którego chcemy policzyć sumę, a to liczba wyrazów, które zaliczają się do sumy.

Przykład:

Oblicz sumę 20 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o wzorze ogólnym

Najpierw musimy obliczyć ze wzoru pierwszy i dwudziesty wyraz ciągu:

Podstawiamy do wzoru na sumę n-początkowych wyrazów

Suma dwudziestu początkowych wyrazów ciągu jest równa 440.

Zadania

Zadanie 1.

Podaj wzór ogólny ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie oraz trzecim wyrazie

Zadanie 2.

Wyznacz liczby a i b, tak aby ciąg: 0, a, b, 9 był arytmetyczny

Zadanie 3.

Określ monotoniczność ciągu arytmetycznego określonego wzorem

Rozwiązania

Zadanie 1.

Obliczamy r:

Korzystamy ze wzoru na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego

Zadanie 2.

9 to czwarty wyraz ciągu arytmetycznego, zatem

liczby a i b są kolejno drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego, zatem;

Odpowiedź: Liczba a wynosi 3, natomiast liczba b wynosi 6.

Zadanie 3.

Obliczamy różnicę ciągu z definicji lub na konkretnych wyrazach ciągu.

Różnica ciągu jest większa od 0, zatem ciąg jest rosnący.

Dziękuję za przeczytanie 🙂