Średnica koła

Koło to część płaszczyzny, która jest ograniczona okręgiem. Ten okrąg zawiera się w kole i jest jego brzegiem. Od lat ludzie sprzeczają się o to kto wynalazł koło. Chińczycy uważają, że cesarz Houang – Ti, inni, że Archytas z Tarentu, a jeszcze inni, że Sumerowie. Najprawdopodobniej nigdy nie poznamy prawdy…

Najważniejsze terminy związane z kołem to:
obwód (długość brzegu okręgu), polskie oznaczenie: O
pole, polskie oznaczenie: P
promień (odległość między brzegiem koła a jego środkiem), oznaczenie: r (od ang. słowa radius – promień)
cięciwa (odcinek, którego końce leżą na brzegu koła)
średnica (najdłuższa cięciwa w kole przechodząca przez jego środek, jest dwa razy dłuższa od promienia), oznaczenie: d (od ang. słowa diameter – średnica)

Poniższe opracowanie będzie właśnie o średnicy.

Każde koło ma nieskończenie wiele średnic o jednakowej długości.

d = 2r – wzór na średnicę koła
Długość średnicy koła jest równa dwukrotnej długości promieniu koła; stąd ten wzór.

d = – wzór na średnicę koła
To jest wzór na średnicę koła, który został zmodyfikowany ze wzoru na obwód (O = πd)
O = πd |:π
d =

Zwróćmy uwagę, że we wszystkich tych wzorach jest liczba π, którą jako pierwszy zastosował walijski matematyk William Jones. Liczba π ma rozwinięcie nieskończone i nieokresowe. Najczęściej liczbę π pisze się w zaokrągleniu do części setnych (dwóch miejsc po przecinku).

π 3,141592653589793238462643383279…

ZADANIA NA OBLICZENIE ŚREDNICY KOŁA ZNAJĄC JEGO PROMIEŃ:

ZADANIE 1
Oblicz średnicę koła, którego promień wynosi 6cm.

Dane: Szukane:
r = 6cm d = ?

Podstawiamy do wzoru.

d = 2r =

Odp. Długość średnicy koła wynosi 12cm.

ZADANIE 2
Promień koła wynosi . Oblicz jego średnicę.

Dane: Szukane:
r = d = ?

Podstawiamy do wzoru.

d = cm

Odp. Długość średnicy koła wynosi 6,5cm.

ZADANIE 3
Promień koła wynosi 2,5π. Oblicz jego średnicę. Przyjmij, że π 3,14.

Dane: Szukane:
r = 2,5π d = ?

Podstawiamy do wzoru.

d = 15,7

Odp. Długość średnicy koła wynosi ok. 15,7.

ZADANIA NA OBLICZANIE ŚREDNICY KOŁA ZNAJĄC JEGO POLE:

ZADANIE 1
Oblicz średnicę koła wiedząc że jego pole wynosi 16π.

Dane: Szukane:
P = 16π d = ?
P = – wzór na pole koła

Pole koła podstawiamy do wzoru.

16π = |:π
16 =
r = = 4

Jak już wiemy, że wzór na średnicę koła to d = 2r, czyli:

d = = 8

Odp. Długość średnicy koła wynosi 8.

ZADANIE 2
Pole koła wynosi 0,5π. Oblicz jego średnicę. Wynik zaokrąglij do części setnych.

Dane: Szukane:
P = 0,5π d = ?

P =
0,5π = |:π
0,5 =
r = 0,71
d

Odp. Długość średnicy koła wynosi 1,42.

ZADANIE 3
Pole koła wynosi . Oblicz jego średnicę. Wynik zaokrąglij do części setnych. Przyjmij, że π 3,14.
a
Dane: Szukane:
P = d = ?

P =
= |:π
=
r 2,11cm

d 4,22 cm

Odp. Długość średnicy koła wynosi 4,22cm.

ZADANIA NA OBLICZANIE ŚREDNICY KOŁA ZNAJĄC JEGO OBWÓD:

ZADANIE 1
Oblicz średnicę koła wiedząc że jego obwód wynosi 5cm. Przyjmij, że π = 3,14. Wynik podaj zaokrąglij do części setnych. Zadanie rozwiąż dwoma sposobami.

Dane: Szukane:
O = 5cm d = ?
π = 3,14

Zadanie można rozwiązać na 2 sposoby.

I sposób (zgodnie ze wzorem):

d = = 1,59cm

Odp. Długość średnicy koła wynosi ok. 1,59cm.

II sposób

Obwód koła to 2πr. O = 2πr

Układamy równanie. 5cm podstawiamy do wzoru.

5cm =
5cm = |:2π
= r
r
r
0,795cm r
r 0,795cm

Podstawiamy do wzoru, który „mówi”, że średnica koła jest dwukrotnie większa od jego promienia.

Odp. Długość średnicy koła wynosi ok. 1,59cm.

ZADANIE 2
Obwód koła wynosi 12π. Oblicz jego średnicę. Zadanie rozwiąż dwoma sposobami. Wynik podaj w centymetrach.

Dane: Szukane:
O = 12π d = ?

I sposób (zgodnie ze wzorem):

d = = = 12

Odp. Długość średnicy koła wynosi 12cm.

II sposób:

Obwód koła to 2πr, a więc:

12π = 2πr |:2π
6 = r
r = 6

Znamy już jeden ze wzorów na średnicę d = 2r, czyli:

d = 2r = = 12cm

Odp. Długość średnicy koła wynosi 12 cm.

ZADANIE 3
Obwód koła wynosi . Oblicz jego średnicę. Zadanie rozwiąż dwoma sposobami.

Dane: Szukane:
O = d = ?

I sposób (zgodnie ze wzorem):

d = = =

Odp. Długość średnicy koła wynosi .

II sposób:

Wzór na obwód koła to O = 2πr, czyli:

= 2πr |:π
= 2r |:2
= r

Jeden ze wzorów na średnicę koła to d = 2r, czyli:

Odp. Długość średnicy koła wynosi .

ZADANIE 4
Obwód koła wynosi 17π. Oblicz jego średnicę korzystając ze wzoru na średnicę.

Dane: Szukane:
O = 17π d = ?

d = = = 17

Odp. Długość średnicy koła wynosi 17.