Opracowanie:
Pochodna cząstkowa
Pochodna cząstkowa
Pochodna cząstkowa jest liczona względem jednej z wielu zmiennych funkcji.
Pochodną cząstkową oznaczamy w poniższy sposób
f’x = – jest to pochodna cząstkowa po zmiennej x
f’x = – jest to pochodna cząstkowa po zmiennej y
Przykład 1
Dana jest funkcja f(x,y) = x3 + 2x + y2 + 3y. Oblicz pochodne cząstkowe, czyli f’x oraz f’y.
Jeżeli liczymy pochodną po x, to traktujemy inne zmienne jako stałe. Wykorzystujemy wzór (C)’ = 0, gdzie C to dowolna liczba.
f’x = = 3x2 + 2
Jeżeli liczymy pochodną po y, to traktujemy inne zmienne jako stałe.
f’y = = 2y + 3
Przykład 2
Dana jest funkcja f(x,y) = 3x3 + 2y2 – 2x2. Oblicz pochodne cząstkowe drugiego rzędu.
Najpierw obliczamy pochodną pierwszego rzędu.
f’x = 9x2 – 4x
Następnie z tej pochodnej liczymy pochodną f’xx oraz f’xy.
W rezultacie powstały nam pochodne cząstkowe drugiego rzędu:
f’xx = 18x – 4
f’xy = 0
f’y = 4y
Następnie z tej pochodnej liczymy pochodną f’yy oraz f’yx.
W rezultacie powstały nam pochodne cząstkowe drugiego rzędu:
f’yy = 4
f’yx = 0