Przestrzenie metryczne

Przestrzeń metryczna to para , gdzie jest zbiorem punktów, a ( jest dwuargumentową funkcją, której obydwa argumenty należą do zbioru , a zbiór wartości tej funkcji to liczby rzeczywiste większe lub równe zero). Funkcję nazywamy metryką. Definiuje ona sposób, w jaki obliczamy odległość pomiędzy dwoma punktami ze zbioru . Odległość pomiędzy punktami i wynosi .

Poprawnie zdefiniowana metryka musi spełniać warunki:
Jeśli odległość między dwoma punktami wynosi zero, to punkty te są tożsame:
Odległość pomiędzy punktem i punktem jest identyczna do odległości pomiędzy punktem a punktem :
Nierówność trójkąta:

Jeśli warunek nierówności trójkąta zastąpi się warunkiem: , to możemy wyeliminować aksjomat 2. (nazywany warunkiem symetrii), ponieważ wynika on bezpośrednio z pozostałych aksjomatów.

Jeśli za przyjmiemy , to:

Z aksjomatu 1. wynika, że , a więc:

Do pierwotnego wzoru możemy również zamienić punkt z punktem oraz pod punkt podstawić punkt , aby otrzymać:

Ponownie korzystając z aksjomatu 1. wiemy, że .

Skoro wiemy, że oraz , to , co należało udowodnić.

Najpopularniejszą metryką, używaną w geometrii euklidesowej, jest metryka euklidesowa. Dla punktów dwuwymiarowych ( to zbiór punktów , gdzie ) metryka ta przyjmuje postać:


Inną ciekawą metryką jest metryka maksimum. Nazywa się ją również metryką szachową, ponieważ określa minimalną liczbę ruchów szachowego króla potrzebną z przemieszczenia się z jednego pola na drugie. Metrykę maksimum oznacza się symbolem .


Przykład:
Gdybyśmy zdefiniowali przestrzeń metryczną , gdzie to zbiór wszystkich trójwymiarowych punktów , gdzie , to odległość pomiędzy punktami oraz możemy obliczyć w ten sposób:
Ponieważ korzystamy z metryki maksimum, liczymy wartości bezwzględne z różnic pomiędzy kolejnymi współrzędnymi punktów.



Z tych wyników wybieramy największy, zatem