Pochodna złożenia funkcji

Pochodna złożenia funkcji

Jeśli mamy daną funkcję f(x), która jest złożeniem funkcji g(x) z funkcją h(x) to pochodna złożenia tych funkcji (czyli pochodna funkcji f(x)) będzie wyrażać się wzorem: f'(x) = (g(h(x)))’ = g'(h(x)) h'(x).
Dla łatwiejszego zobrazowania załóżmy, że funkcje g(x) i h(x) są wyrażone konkretnymi wzorami . Niech g(x) = x2 oraz h(x) = sin x. Wtedy pochodna złożenia funkcji g(x) z funkcją h(x) będzie miała postać:
(g(h(x)))’ = ((sin x)2)’ = (2 (sin x)2-1) (sin x)’ = (2 sin x) (cos x) = sin 2x
Natomiast pochodna złożenia funkcji h(x) z funkcją g (x) będzie miała postać:
(h(g(x)))’ = (sin x2)’ = cos x2 (x2)’ = cos x2 2x.
Zauważmy, że złożenie funkcji g(x) z funkcją h(x) nie jest tym samym co złożenie funkcji h(x) z funkcją g (x), dlatego też obliczone pochodne nie są takie same. Przećwiczmy obliczanie pochodnych złożenia funkcji jeszcze na jednym przykładzie.

Przykład:
Mamy podane dwie funkcje: g(x) = 4x3 oraz h(x) = cos x. Oblicz pochodną:
a) złożenia funkcji g(x) z funkcją h(x)
b) złożenia funkcji h(x) z funkcją g(x)

a) g(x) jest tu funkcją zewnętrzną, a h(x) wewnętrzną, więc: (g(h(x)))’ = (4(cos x)3)’ = (4 3 (cos x)3-1) (cos x)’ = (12 (cos x)2) (- sin x) =
= -12 cos2x sin x

b) h(x) jest tu funkcją zewnętrzną, a g(x) wewnętrzną, więc: (h(g(x)))’ = (cos (4x3))’ = (- sin (4x3)) (4x3)’ = (- sin (4x3)) (12x2) =
= -12x2 sin (4x3)

Podsumowanie:
Z tego opracowania dowiedziałeś się co to jest pochodna złożenia funkcji oraz nauczyłeś się ją obliczać. Wiesz także, że pochodna złożenia dwóch funkcji np. funkcji g(x) z funkcją h(x) nie jest tym samym co pochodna złożenia funkcji h(x) z funkcją g (x).