Cotangens

Cotangens
Jest to jedna z czterech funkcji trygonometrycznych, obok funkcji sinus, cosinus i tangens.

W jaki sposób definiuje się funkcję cotangens?

Cotangens – skrót ctg – jest to stosunek przyprostokątnej (b) leżącej przy kącie α do przyprostokątnej (c) leżącej naprzeciw kąta. Jej wykres nazywa się cotangensoida.

Funkcja cotangens jest określana w przedziale od 0π + kπ do π + kπ i przyjmuje wartości od – ∞ do ∞.

Dziedzina funkcji cotangens jest określona dla liczb rzeczywistych różnych od liczb postaci kπ (np. 0, π, 2π, 3π, …)

Zatem zbiór wartości funkcji = R, funkcja przyjmuje wartości liczb nieparzystych.

Cotangens należy do funkcji nieparzystych, inaczej mówiąc: dla każdej liczby należącej do dziedziny funkcji ctg(-x)= -ctgx

Kolejna ważna rzecz – cotangens jest funkcją okresową w okresie π(180); tzn., że wartości tej funkcji powtarzają się co π. Możemy zapisać to w następujący sposób: ctg(x+π) = ctg .

Miejsca zerowe funkcji cotangens
ctg x = 0 w przypadku, gdy

np. ( ).

Jakie znaki ma funkcja w poszczególnych ćwiartkach scharakteryzowane zostały na poniższym rysunku:

Dla przykładu w przedziale ( cotangens jest ujemny, a w przedziale cotangens jest dodatni.

.
Najważniejsze wzory trygonometryczne przedstawione zostały poniżej

ctg = , α jest różne od kπ,

, , k C

, α jest różne od kC.

Funkcja cotangens przedstawia się na

PRZYKŁAD 1.
Ile wynosi ctg

Spróbujemy najpierw rozłożyć kąt na mniejsze kąty:

ctg = = =

Zatem po rozłożeniu na mniejsze kąty, wiemy iż

PRZYKŁAD 2
Znając wartość ctg α = i wiedząc, że kąt leży w IV ćwiartce, policz pozostałe funkcje cosα, sin α i tg

Na początek skorzystamy z „jedynki trygonometrycznej” i definicji funkcji ctg (stosunek funkcji sin i cos)

rozwiązanie

/ (tutaj wstawiamy w miejsce funkcji ctg wartość z treści przykładu

otrzymujemy

(mamy już wyznaczoną funkcję cos )

podstawiamy do „jedynki trygonometrycznej daną funkcję cos

i otrzymujemy

(teraz zredukujemy wyrazy podobne, wykorzystamy iż = )

/

Teraz możemy wyliczyć

lub , wiemy z treści przykładu, że kąt zajmuje się w IV ćwiartce i w tej ćwiartce kąt jest ujemny, zatem opcję „+” sin odrzucamy

wyznaczoną wartość sin wstawiamy do drugiego równania i otrzymujemy

Wyznaczamy wartość sinus i cosinus

Mając dane sin i cos jesteśmy w stanie obliczyć, ile wynos i funkcja tangens.
Zatem

Odp. Na podstawie danej funkcji cotangens i położeniu kąta w IV ćwiartce, wiemy iż

.