Równania różniczkowe

Równania różniczkowe

Równaniem różniczkowym zwyczajnym jest równanie, w którym znajduje się zmienna niezależna x (lub t) oraz y oraz jej pochodne y’, y”, …yn.

Rozwiązaniem równania różniczkowego jest funkcja lub wzór funkcji.

Wyróżnia się kilak typów równań różniczkowych:

Równania różniczkowe zwyczajne – ich rozwiązaniem są funkcje jednej zmiennej

Równania różniczkowe cząstkowe – ich zaś rozwiązaniem są funkcje wielu zmiennych.

Ponadto z uwagi na rząd równania (np. równanie rzędu drugiego, trzeciego, pierwszego) lub postać funkcji i pochodnych (np. równania liniowe, nieliniowe) można podzielić równania różniczkowe w następujący sposób:

Równanie różniczkowe zwyczajne 2 rzędu liniowe

Równanie różniczkowe zwyczajne 2 rzędu nieliniowe

Po krótkim wprowadzeniu zajmiemy się równaniami różniczkowymi zwyczajnymi I rzędu:
Jaką postać przyjmuje ten rodzaj równania?

Przedstawia się następująco równania różniczkowe I rzędu
F(t, y, y’) = 0

Rozwiązaniem ogólnym lub całką ogólną rozwiązania jest pewna funkcja y(t) różniczkowalna w przedziale (a,b) oraz spełniająca równanie F(t,y,y’) = 0. Ten rodzaj zagadnienia ma też specjalną nazwę – zagadnienie początkowe lub rozwiązanie szczególne lub całkę szczególną. Występuje również pod nazwą zagadnienia Cauchy’ego.

Twierdzenie Cauchy’ego: Jeżeli funkcja F(t,y) oraz jej pochodna cząstkowa są ciągłe na pewnym podzbiorze oraz , to w zagadnieniu początkowym 2 znajduje się dokładnie jedno rozwiązanie.

Można to twierdzenie również wyrazić w następujący sposób, iż jeśli jest możliwe i istnieje rozwiązanie zagadnienia początkowego, to nie ma innych i to jest jedyne (czyli, że przez każdy punkt zbioru K przechodzi tylko jedna krzywa całkowa y(t).

Szczególnym przypadkiem równań różniczkowych I rzędu jest równanie różniczkowe Bernoulliego. Przyjmuje one następującą postać:

Jeśli , otrzymamy równanie liniowe niejednorodne

Jeśli , wówczas będziemy mieć równanie liniowe jednorodne.

Żeby rozwiązać równanie Bernoulliego zakładamy, że
i podstawiamy

,
Po zróżniczkowaniu tej zależności stronami otrzymujemy

Podstawiany do równania

i uzyskujemy:

/

Używamy podstawienia

i po skorygowaniu y, w rezultacie uzyskuje się równanie liniowe niejednorodne

.

Równania różniczkowe zwyczajne II rzędu

funkcja ma taką postać:

rozwiązanie z kolei przyjmuje taką postać:

Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe II rzędu

F (t, y, y’, y”) = 0 nie zmiennej zależnej y w sposób jawny. Trzeba podstawić nową zmienną:

Następnie różniczkujemy i otrzymujemy

Po podstawieniu do równania początkowego, uzyskujemy równanie rzędu I

F(t, u, u’) = 0.

Gdzie można spotkać równania różniczkowe. Bo nie tylko samą matematyką człowiek żyje… Inne nauki – takie jak mechanika, fizyka, termodynamika wykorzystują równania różniczkowe do opisywania niektórych zależności np

równania Maxwella – cztery podstawowe równania elektrodynamiki;

równania Hamiltona – opisują kanoniczne równania ruchu;

równania dotyczące zasad dynamiki Newtona;

równania Cauchy’ego-Riemanna – przedstawiające warunek konieczny i dostateczny, aby funkcja była różniczkowalna;

równanie Einsteina – opisuje równanie pola ogólnej teorii względności;

równania falowe – równania różniczkowe II rzędu opisujące ruch falowy;

równanie Naviera-Stokesa – równania opisujące zasadę zachowania pędu dla ruszającego się płynu;

równanie przewodnictwa cieplnego w termodynamice;

równanie Poissona – równanie różniczkowe cząstkowe niejednorodne II rzędu;

równanie Schrodingera – stosowane w mechanice kwantowej;

równanie Laplace’a – stosowane w mechanice, termodynamice, mechanice płynów, elektrodynamice – wyraża rozbieżność gradientu potencjału, gdy nieobecność źródła równa się zero.