Postać kanoniczna

1.Funkcję kwadratową możemy zapisać pod trzema postaciami:

-> postać ogólna: y = ax2+bx+c, dla dowolnych a,b,c R i „a” różnego od 0. W tej postaci możemy zapisać każdą funkcję kwadratową;
-> postać iloczynowa: y = a(x-x1)(x-x2), gdzie x1 i x2 to miejsca zerowe funkcji, a „a” jest dowolną liczbą rzeczywistą, różną od 0. Ta postać charakteryzuje tylko te trójmiany kwadratowe, które posiadają przynajmniej jedno miejsce zerowe, tzn. ich wykres przynajmniej raz przecina oś OX;
-> postać kanoniczna: y = a(x-p)2+q, gdzie p,q R – są to współrzędne wierzchołka paraboli – Wp(p,q), a „a” jest dowolną liczbą rzeczywistą różną od 0; W tej postaci możemy zapisać każdą funkcję kwadratową.

2.Jak zapisać funkcję kwadratową w postaci kanonicznej?
Przykład 1:
Na rysunku 1 przedstawiono wykres funkcji kwadratowej f(x). Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie W(3,7), a do jej wykresu należy punkt P (0, ). Wyznacz wzór tej funkcji. Zapisz go w postaci kanonicznej.
Rysunek 1

Krok 1:
Zapisz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej:
f(x) = a(x-p)2+q

Krok 2:
Skorzystaj z własności funkcji kwadratowej i wyznacz wartości współczynników „p” i „q”:
W = (p,q) = (3,7) => p =3, q = 7
f(x) = a(x-3)2+7

Krok 3:
Wiedząc, że do wykresu funkcji należy punkt P(0,), wyznacz wartość współczynnika „a”:
1,5 = a(0-3)2+7
1,5 = 9a+7
1,5 – 7 = 9a
– = 9a
a = –

Krok 4:
Zapisz funkcję f(x) w postaci kanonicznej:
f(x) = – (x-3)2+7

3.Współrzędne wierzchołka paraboli:
Współrzędne wierzchołka paraboli możemy ustalić na podstawie wzoru funkcji kwadratowej zapisanej w postaci kanonicznej (przykład odwrotny do 1).
Jeśli mamy dany wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, możemy natomiast obliczyć współrzędne wierzchołka W=(p,q) ze wzorów:
p = – , q = , gdzie:
to wyróżnik trójmianu kwadratowego, obliczamy jego wartość ze wzoru = b2 – 4a c;
Powyższe wzory możemy wykorzystać do zapisania wzoru funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej.

Przykład 2:
Oblicz współrzędne wierzchołka paraboli y = x2+3x+1.
Krok 1:
a = 1
b = 3
c = 1

Krok 2:
Oblicz wartość współczynnika „p”:
p = – = – = -1,5

Krok 3:
Oblicz wartość wyróżnika trójmianu kwadratowego:
= b b -4c
= 32 – 4 1 1 = 5

Krok 4:
Oblicz wartość współczynnika „q”:
q =- = –

Krok 5:
Zapisz współrzędne wierzchołka paraboli:
W = (p,q) = (-1,5; – )

4.Jak zapisać funkcję kwadratową daną w postaci ogólnej w postaci kanonicznej?
Jeśli mamy daną funkcję kwadratową, zapisaną w postaci ogólnej f(x) = ax2+bx+c i określoną dla a,b,c R i „a” różnego od 0 <=> wzór funkcji f(x) w postaci kanonicznej to f(x) = a(x+)2 – .

Przykład 3:
Zapisz wzór podanej funkcji w postaci kanonicznej: f(x) = 0,5x2-x+1.
Krok 1:
a = 0,5
b = -1
c = 1

Krok 2:
Oblicz współrzędne wierzchołka paraboli:
p = – = – = 1
= b b – 4 a c = (-1)2-4 0,5 1 = 1 – 2 = -1
q = – = = 0,5
W = (p,q) = (1,)

Krok 3:
Zapisz wzór funkcji f(x) w postaci kanonicznej:
y = a (x-p)2 +q
y = (x-1)2 +

5.Jak zapisać funkcję kwadratową daną w postaci iloczynowej w postaci kanonicznej?
Jeśli mamy daną funkcję f(x) = a(x-x1)(x-x2), określoną dla niewiadomych rzeczywistych i „a” różnego od 0 to możemy zamienić ją na postać ogólną, a potem na kanoniczną.
Aby zamienić postać iloczynową na postać ogólną, należy pomnożyć czynniki, zgodnie z zasadą „każdy przez każdy”. Wówczas otrzymamy wzór funkcji f(x) w postaci ogólnej.
Wzór funkcji zapisany w postaci ogólnej zamieniamy na postać kanoniczną tak jak w przykładzie 3.

Przykład 4:
Dana jest funkcja f(x) = (x-2)(x-7). Przedstaw funkcję f(x) w postaci ogólnej, a następnie w postaci kanonicznej.
Krok 1:
Mnożymy czynniki funkcji f, zgodnie z zasadą „każdy przez każdy”:
f(x) = x2 – 7x – 2x +14 = x2 – 9x +14 -> otrzymujemy postać ogólną funkcji kwadratowej;

Krok 2:
a = 1
b = -9
c = 14

Krok 3:
Liczymy współrzędne wierzchołka W:
p = – = – = 4,5
= b b – 4 a c = (-9)2 – 4 1 14 = 25
q = –

Krok 4:
Zapisujemy funkcję kwadratową f(x) w postaci kanonicznej:
f(x) = (x-4,5)2 – 6,25

6.Jak określić własności funkcji kwadratowej f(x) na podstawie jej postaci kanonicznej?
Przykład 5:
Dana jest funkcja kwadratowa f(x) = a(x-p)2+q, określona dla liczb rzeczywistych i „a” większego od 0. Wyznacz współrzędne jej wierzchołka, monotoniczność, dziedzinę funkcji, zbiór wartości. Podaj warunek, który musi spełnić by posiadać postać iloczynową.

Krok 1:
Wiedząc, że a>0 spróbujmy narysować schemat jej wykresu w układzie współrzędnych. Należy pamiętać, że rysunek stanowi tylko element pomocniczy – bez danych nie jesteśmy w stanie dokładnie określić położenia paraboli w układzie współrzędnych.
Rysunek 2

Krok 2:
Współrzędne wierzchołka paraboli to zgodnie z własnością funkcji kwadratowej p i q, tzn. W = (p,q)

Krok 3:
Zauważmy, że funkcja kwadratowa o współczynniku a>0 jest malejąca w przedziale (-,p>, a rosnąca w przedziale ).

Krok 4:
Teraz wyznaczymy dziedzinę funkcji i zbiór wartości:
Df = R.
Zbiorem wartości natomiast jest przedział f(Df) = )

Krok 5:
Warunek, który musi spełnić funkcja kwadratowa, by posiadać postać iloczynową to 0.
f(x) = a(x2-2xp+p2)+q = ax2 -2axp +p2a +q
= (-2ap)2-4 a (p2a +q) = 4a2p2-4a2p2 -4aq = -4aq
-4aq 0
aq 0 i to jest warunek, który musi spełniać funkcja, aby posiadać przynajmniej jedno miejsce zerowe, a co za tym idzie postać iloczynową.

Przykład 6:
Dana jest funkcja kwadratowa f(x) = a(x-p)2+q, określona dla liczb rzeczywistych i „a” mniejszego od 0. Wyznacz współrzędne jej wierzchołka, monotoniczność, dziedzinę funkcji, zbiór wartości.
Krok 1:
Wiedząc, że a<0 spróbujmy narysować schemat jej wykresu w układzie współrzędnych. Należy pamiętać, że rysunek stanowi tylko element pomocniczy - bez danych nie jesteśmy w stanie dokładnie określić położenia paraboli w układzie współrzędnych.
Rysunek 3
Krok 2:
Współrzędne wierzchołka paraboli to zgodnie z własnością funkcji kwadratowej p i q, tzn. W = (p,q)

Krok 3:
Zauważmy, że funkcja kwadratowa o współczynniku a<0 jest rosnąca w przedziale (-,p>, a malejąca w przedziale ).

Krok 4:
Teraz wyznaczymy dziedzinę funkcji i zbiór wartości:
Df = R.
Zbiorem wartości natomiast jest przedział f(Df) = (-,q>

Przykład 7: (Przed maturą na poziomie rozszerzonym – Nowa Era)
Liczba -5 jest jednym z miejsc zerowych funkcji f, której wykresem jest parabola o wierzchołku w punkcie P(-3,1). Po przesunięciu wykresu f o wektor [0,z] otrzymujemy wykres funkcji g, dla którego jednym z miejsc zerowych jest liczba 4. Zakoduj cyfrę jedności oraz dwie pierwsze cyfry po przecinku liczby z.

Krok 1:
Wyznacz wzór funkcji f(x), korzystając z własności funkcji kwadratowej:
f(x) = a(x-p)2+q
f(x) = a(x+3)2+1
f(-5) = a(-5+3)2+1 = 0
-1 = 4a
a = –
f(x) = – (x+3)2+1

Krok 2:
Wyznacz wzór funkcji g(x):
g(x) = – (x+3)2 +1 + z

Krok 3:
Obliczamy wartość „z”:
g(4) = -0,25 (4+3)2+1+z
z =
Zakodowana liczba: 125.

Mam nadzieję, że pomogłam Ci zrozumieć, czym jest postać kanoniczna funkcji kwadratowej oraz jak wpływa ona na własności funkcji. Poniżej prezentuję kilka podstawowych zadań, które pomogą Ci utrwalić wiadomości z tego opracowania. Zapraszam do ich wykonania!
Zadanie 1:
Wyznacz wartości współczynników p i q funkcji f(x) = 3x2-24x+41.
Zadanie 2:
Zapisz trójmian kwadratowy f(x) = 2(x-3)2-14 w postaci ogólnej.
Zadanie 3:
Zapisz trójmian kwadratowy f(x) 4(x-3)(x-5) w postaci kanonicznej. Wyznacz jego dziedzinę funkcji, zbiór wartości, miejsca zerowe oraz przedziały monotoniczności.