Delta równa 0

Delta równa 0

Rozwiązując równanie kwadratowe za pomocą delty możemy spotkać się z trzema sytuacjami, gdzie:
Δ<0 - brak miejsc zerowych oraz brak postaci iloczynowej funkcji
Δ=0 – jedno miejsce zerowe, istnieje postać iloczynowa
Δ>0 – dwa miejsca zerowe, istnieje postać iloczynowa
W dalszej części skupimy się najbardziej na drugim (zakreślonym na niebiesko) przypadku, czyli tym, gdzie Δ=0.

Przypomnijmy sobie ogólny wzór na deltę:

Tak jak było to ujęte wcześniej – gdy delta jest równa 0, wówczas funkcja kwadratowa posiada jedno miejsce zerowe oraz istnieje postać iloczynowa takiej funkcji. Postać ta będzie miała nieco inny wzór niż ta, dla której Δ>0, tak samo pewne różnice można dostrzec we wzorze na miejsce zerowe.

Prawdziwa jest równość:

Znany i prawdopodobnie najczęściej używany zapis takiego miejsca zerowego to x0.


Gdy mamy do czynienia z deltą powyżej 0, wzór na x1 i x2 ma postać:
lub , dlatego skoro nasz delta jest równa 0 to , dlatego nie ujmuje się tego we wzorze, ponieważ jedyną zmianą jaka zostałaby wprowadzona to zamieszanie:) Zatem dla Δ=0, trzymamy się wzoru:

Czas na postać iloczynową takiej funkcji:


Nie możemy również zapomnieć o wykresie takiej funkcji, wygląda on następująco:

przykład 1:

Rozwiąż równanie kwadratowe: .

Zaczynamy od wypisania współczynników:

, ,

Obliczamy deltę:

Delta jest równa 0, zatem istnieje jeden pierwiastek rzeczywisty dla tej funkcji:

odp.: x=-1

przykład 2:

Rozwiąż nierówność: >

Przenosimy wszystko (w tym wypadku tylko -3) na lewą stronę, aby po prawej otrzymać 0. Pamiętajmy o zmianie znaku przy przenoszonej liczbie!

>

Obliczamy deltę:

Rysujemy wykres dla tej funkcji, na takiej samej zasadzie, jak wykres powyżej. Ramiona paraboli będą skierowane do góry, ponieważ a, czyli liczba przy najwyższej potędze x jest dodatnia.

Nasze wartości miały być większe od 0, zatem dla ułatwienia zaznaczmy to na wykresie:

rozwiązaniem są przedziały:

przykład 3:

Rozwiąż równanie, zapisz postać iloczynową funkcji oraz narysuj jej wykres.

, ,

postać iloczynowa wzoru tej funkcji:

Wierzchołek paraboli ma współrzędne (10,0), ramiona paraboli skierowane są do góry, ponieważ a>0. Narysujmy ten wykres: