Dwumian newtona

Dwumian newtona

W tej notatce dowiecie się wielu interesujących rzeczy. Pewnie znacie Newtona z fizyki i jego trzy słynne zasady (które obowiązują już w podstawówce). Jak widać Newton pojawia nam się również w matematyce, lecz ile w tym wzorze naprawdę jest Newtona, zobaczycie sami, gdyż przybliżę wam również historię naszego dwumianu. Pojęcie dwumianu newtona nie jest jednak w materiale podstawówki, lecz w dużo bardziej zaawansowanym. Z tej notatki dowiecie się takich rzeczy jak definicje najpotrzebniejszych zagadnień z tego tematu, poznacie wszystkie potrzebne wzory, które mogą wam się przydać korzystając z dwumianu newtona. Wmieszamy również do naszego dwumianu trójkąt Pascala. Jak więc widzicie, będzie się działo… Zapraszam do czytania notatki oraz życzę miłej i owocnej lektury!

POTRZEBNE DEFINICJE:
> dwumian newtona (wzór dwumianowy / dwumienny) – twierdzenie, zgodnie z którym potęgę dwumianu można rozwinąć w postaci sumy jednomianów . We wszystkich jednomianach współczynnik jest dodatnią liczbą całkowitą. Wykładniki natomiast przy i sumują się razem do n.
> symbole newtona (współczynniki dwumianowe) – współczynniki , które są przy jednomianach.

A W PRAKTYCE – CZYLI CO TO JEST TEN DWUMIAN NEWTONA TAK NAPRAWDĘ?

Dzięki temu wzorowi możemy przedstawić dowolną naturalną potęgę sumy. Można zapisać to również w innej postaci (którą podałam poniżej).

*wzór zapisany i sfotografowany przez autorkę*

PRZYKŁADY / ZADANIA:
(a+b)0 = 1 —> wszystko podniesione do potęgi zerowej daje jeden
(a+b)1 = a + b
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 —> jak można zauważyć, jest to wzór skróconego mnożenia
(a+b)3 = a3 + 3 * a2 * b + 3 * a * b2 + b3
(a+b)4 = a4 + 4 * a3 * b + 6 * a2 * b2 + 4 * a * b3 + b4
(a+b)5 = a5 + 5 * a4 * b + 10 * a3 * b2 + 10 * a2 * b3 + 5 * a * b4 + b5

TRÓJKĄT PASCALA A DWUMIAN NEWTONA:
Współczynniki dwumianowe () można wyszukiwać w trójkącie Pascala. Stworzenie takiego trójkąta jest dosyć prostą sprawą, a ułatwia wiele rzeczy, które są związane z dwumianem newtona. Następującym wierszom tego trójkąta odpowiadają kolejne wartości , następującym wyrazom w każdym wierszu – kolejne wartości .

WZÓR NA k-TY WYRAZ DWUMIANU NEWTONA:
> Jeżeli a i b to dowolne liczby rzeczywiste;
> Jeżeli n jest dodatnią liczbą naturalną;
> Jeżeli k jest taką liczbą naturalną, która spełnia warunek ;
Jeżeli te wszystkie trzy warunki są spełnione, to k-ty wyraz rozwinięcia potęgi można wyrazić następującym wzorem:

Dzięki takiemu wzorowi możemy wyznaczyć dowolny wyraz dwumianu newtona.

HISTORIA DWUMIANU NEWTONA:
Wzór a także trójkątne uporządkowanie współczynników dwumianowych bardzo często jest przyznawane Blaise’owi Pascalowi. Tenże mężczyzna opisał je w siedemnastym wieku, aczkolwiek co ciekawe, były one znane bardzo wielu matematykom, którzy żyli przed Blaisem. Przykładowo, w czwartym wieku przed naszą erą grecki matematyk (pewnie większości z was dobrze znany) Euklides, właśnie znał szczególny przypadek tegoż twierdzenia, a mianowicie dla wykładnika, który nie był większy od liczby dwa. Drugim przykładem mateamtyka, który w pewnym stopniu posiadał wiedzę związaną z dwumianem newtona, był Pingala. Ten hinduski matematyk, który żył w trzecim wieku przed naszą erą, znał to twierdzenie już nawet dla wyższych wykładników. Innymi matematykami, którym udało się w pewnej części pojąć zagadnienie dwumianu newtona byli:
> w dziesiątym wieku naszej ery —> hinduskiego pochodzenia matematyk Halajuga;
> w jedenastym wieku naszej ery –> perskiego pochodzenia matematykowi Omarowi Chajjam;
> w trzynastym wieku naszej ery —> chińskiego pochodzenia matematyk Yang Hui;

Wszyscy wyżej wymienieni matematycy wiedzieli więcej albo mniej o dwumianie newtona. Jak na czasy w których przypadło im żyć oraz poziom matematyki w tamtych czasach trzeba przyznać, że wszyscy panowie osiągnęli nie lada sukces. Natomiast wy możecie wszystkiego się dowiedzieć z tej jednej notatki, więc proszę bardzo – macie notatkę o dwumianie newtona!