Największa i najmniejsza wartość funkcji w przedziale

1. Jak znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w danym przedziale?

Najczęściej maksymalne i minimalne wartości, jakie przyjmuje funkcja dla argumentów z danego przedziału, odczytujemy z wykresu takiej funkcji.

Sprawdźmy wykres poniżej:

Jak widzimy, jego dziedziną, czyli przedziałem, dla którego zostały wyznaczone wartości tej funkcji, jest przedział

< ). Odczytujemy go z osi .

Teraz wyznaczmy sobie zbiór wartości, odczytując go z osi . Będzie on równy ( >.

Rozpatrując więc maksymalne i minimalne wartości funkcji w całej dziedzinie, mielibyśmy po prostu granice jej zbioru wartości, czyli:

Natomiast dla tej funkcji nie istnieje, gdyż przy mamy nawias otwarty.

Uwaga: Nie możemy napisać, że ani liczbie do niej zbliżone jak . Jeśli mamy na wykresie kółeczko niezamalowane, prawidłową odpowiedzią jest po prostu, że nie istnieje.

Teraz rozpatrzmy tę samą funkcję, ale w przedziale < >.

Z wykresu odczytujemy, że:

dla < >

dla < >

W powyższym przykładzie maksymalne i minimalne wartości funkcji mają granice danego przedziału. Jednak nie zawsze tak jest.

Rozpatrzmy teraz przedział .

dla .

Tutaj ponownie nie możemy wyznaczyć , gdyż wartość argumentu nie jest równa , lecz . W punkcie mamy kółeczko niezamalowane, więc nie istnieje.

Teraz przyjrzyjmy się przedziałowi ( >. W nim nie możemy wyznaczyć ani ani . Przy mamy nawias otwarty, więc nawet pomimo zamalowanego kółka, nie możemy zaliczyć do zbioru wartości przedziału.

Oczywiście najwyższą i najniższą wartość funkcji można wyliczyć również bez wykresu. Za przykład weźmy poniższą funkcję kwadratową:

w przedziale < >

Aby wyliczyć najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej w danym przedziale, wystarczy obliczyć wartości argumentów granic przedziałów, sprawdzić czy w przedziale mieści się wierzchołek funkcji – jeśli tak to w zależności czy a (ze wzoru ogólnego ) jest mniejsze czy większe od zera, druga współrzędna punktu wierzchołka będzie na pewno lub . Jeśli wierzchołek nie znajduje się w danym przedziale, i to wartości argumentów granicy przedziałów.

Tak postępując, obliczamy najpierw:

Teraz sprawdźmy, czy wierzchołek znajduje się w danym przedziale. Obliczmy go więc ze wzoru :

< >

Skoro pierwsza współrzędna wierzchołka () mieści się w przedziale, obliczmy drugą współrzędną (). Możemy to zrobić poprzez obliczenie wartości funkcji dla lub skorzystać ze wzoru . Obliczmy więc deltę:

Po podstawieniu do wzoru i porównaniu wszystkich wyliczeń, otrzymujemy, że:

Najniższą wartość podana funkcja w przedziale < > przyjmuje więc dla argumentu 1, a najwyższą dla . A więc rozwiązaniem jest:

Dla pewności możemy oczywiście narysować wykres tej funkcji i się upewnić.

Podsumowując, najwyższe i najniższe wartości funkcji w danym przedziale możemy odczytywać z wykresu tej funkcji. Nie zawsze takie wartości mogą istnieć, np. w przypadku nawiasów otwartych lub niezamalowanych kółeczek. Obliczając wartości z przedziału funkcji kwadratowej, możemy skorzystać z metody algebraicznej.