Sinus w trójkącie prostokątnym definiuje się jako stosunek długości przyprostokątnej, która leży na przeciwko kąta do długości przeciwprostokątnej.
W celu zobrazowania definicji sinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym wykorzystujemy poniższy rysunek, gdzie boki a i b są to przyprostokątne, a bok c – jest to przeciwprostokątna. Zatem
Ta zależność to pierwsza z funkcji trygonometrycznych. Istnieją jeszcze funkcje cosinus, tangens i cotangens.
Jakie wartości przyjmuje funkcja sinus? W zależności od wielkości kąta, wartości sinus się różnią. Przedstawia je poniższa tabela:
sinus
0°
(30°)
(45°)
(60°)
(90°)
0
1
Zatem wiemy, iż sin 45
° =
Co wiemy jeszcze o funkcji sinus?
Dziedzinę funkcji stanowi zbiór liczb rzeczywistych D = R
Wartości funkcji sinus leżą w przedziale [-1,1].
Funkcja sinus należy do funkcji nieparzystych, tzn., iż dla każdej liczby z dziedziny D tej funkcji sin(-x)=sin x.
Funkcja sinus jest funkcją okresową, jej okres to
. Wartości funkcji powtarzają się co .
Miejsca zerowe funkcji sinus to liczby wielokrotności
, gdzie ; przykładowe miejsca zerowe: .
Funkcja sinus ma wartości dodatnie w przedziale (0,
), czyli w „I” I „IV” ćwiartce. Natomiast wartości ujemne ma w przedziale , czyli w „II” I „III” ćwiartce.
Wykres funkcji sinus nazywa się sinusoidą.
PRZYKŁAD. Oblicz wartość sin 135°.
Żeby przedstawić rozwiązanie, przedstawiamy je w postaci 145
° = 1*90°+45°. k=1 jest nieparzyste, co oznacza, iż funkcja sin zmienia się na kofunkcję, czyli cosinus.Wiemy, iż = = – kąt 135° leży w II ćwiartce i cosinus jest dodatni
zatem mając wszystkie dane możemy obliczyć
.
Wartości funkcji cosinus odczytujemy z poniższej tabeli: cosinus
0
(30°)
(45°)
(60°)
(90°)
1
0
Odpowiedź. Wartość sin 135
° .
Powyższe zadanie zostało zweryfikowane przez nauczyciela
