Objętość prostopadłościanu

Objętość prostopadłościanu

W tej notatce dowiesz się wszystkiego o objętości prostopadłościanu. Będzie wytłumaczone co to jest właściwie prostopadłościan i z czego jest zbudowany. Będą potrzebne wzory oraz sporo zadań, które mogą ci się naprawdę przydać na konkursach i innych łamigłówkach! Będzie również propozycja na ciekawe, praktyczne zmierzenie objętości prostopadłościanu. Mam nadzieję, że dużo dowiecie się z tej notatki lub chociaż sobie zrobicie zadania (które wcale nie są takie łatwe!). Życzę miłej i owocnej lektury!

DEFINICJA PROSTOPADŁOŚCIANU:
Prostopadłościan to bryła (graniastosłup), którego wszystkie ściany są prostokątami (2 prostokątne podstawy oraz cztery prostokątne ściany boczne), a dowolne dwie ściany są równoległe lub prostopadłe.

BUDOWA PROSTOPADŁOŚCIANU:
> podstawa
> ściana
> wierzchołek
> krawędź boczna
> krawędź podstawy
> przekątna prostopadłościanu

WSTĘP DO OBJĘTOŚCI PROSTOPADŁOŚCIANU:
Z powyższej definicji wiemy już, że prostopadłościan to bryła przestrzenna. Z tego wynika, że każdy prostopadłościan musi mieć jakąś objętość. Weźmy na początek prosty przykład. Mamy puste akwarium, którego wszystkie ściany są prostokątne. Żeby wpuścić do akwarium rybki potrzebna nam jest woda. A żeby dokładnie wiedzieć ile chcemy wlać wody do naszego akwarium, możemy obliczyć objętość akwarium. Dzięki temu na pewno nie nalejemy ani za dużo ani za mało wody!

WZÓR NA OBJĘTOŚĆ PROSTOPADŁOŚCIANU:

V = a * b * c
Znany jest przeważnie wzór V = a * b * c. Niektórzy jednak zapisują go jako V = Pp * H. W tym przypadku Pp to pole podstawy prostopadłościanu (czyli a * b), a H to jest wysokość prostopadłościanu (c). Nieważnie jaki wzór wybierzecie – oba są poprawne. Możecie spróbować obu i sprawdzić, który wam jest łatwiej zapamiętać oraz używać podczas rozwiązywania zadań.

WAŻNA SPRAWA – DECYMETR SZEŚCIENNY A LITR:
Jeszcze zanim przejdziemy do zadań, wspomnę o dosyć ważnym zagadnieniu. Jest ono często wykorzystywane na konkursach i w podchwytliwych zadaniach. Jeden decymetr sześcienny to jeden litr.

ZADANIA Z UDZIAŁEM PROSTOPADŁOŚCIANU:
Wszystkie zadania poniżej są wzięte z Wojewódzkich Konkursów z Matematyki, które są organizowane przez Kuratorium Oświaty w Łodzi. Zadania są podzielone na trzy części (od najłatwiejszych do najtrudniejszych) – etap szkolny, rejonowy oraz wojewódzki.

> etap szkolny

Dane:
0,75V = 120l = 120dm^3
H = 50cm = 0,5m
a = 2b

Szukane: Ile metrów kwadratowych szkła użyto? —> P = Pp + Pb
P – ile szkła użyto
Pp – pole (jednej!) podstawy
Pb – pole powierzchni bocznej

Rozwiązanie:
Pp = ab
Pb = 2aH + 2bH = 2H(a+b)
V = abH
V = 120 / 0,75 = 160 [l] = 0,16m^3 —> w poleceniu proszą nas o m^2, więc wszystko musimy zmienić na metry
0,16 = 0,5 * 2b * b
0,16 = 0,5 * 2(b^2)
b^2 = 0,16 —> w tym przypadku b nie może być ujemne (szerokość musi być większa od 0)
b = 0,4 [m]
a = 2b = 2 * 0,4m = 0,8m
P = Pp + Pb = ab + 2H(a+b) = 0,4 * 0,8 + 2 * 0,5(0,4 + 0,8) = 0,32 + 1,2 = 1,52 [m^2]

Odpowiedź: Na stworzenie tego akwarium użyto 1,52 metrów kwadratowych szkła.

Dane:
sześcienny zbiornik o krawędzi a = 1m = 100cm
10 kostek o wymiarach 5cm x 10cm x 20cm

Szukane: ile podniesie się poziom wody w zbiorniku (x = ?)

Rozwiązanie:
V kostki = 5 * 10 * 20 = 1000 [cm^3] —> 10 * 1000 = 10 000 [cm^3]
Pp zbiornika = 100 * 100 = 10 000 [cm^2]
10V kostki / Pp zbiornika = 10 000 / 10 000 = 1 [cm]

Odpowiedź: Poziom wody w zbiorniku podniesie się o 1 centymetr.

> etap rejonowy

V = a * b * c = ?
a * b = 1 —> a = 1 / b
a * c = 4 —> a * c = (1/b) * (9/b) = (9 / b^2) = 4 —> b = 3/2 = 1,5 [cm]
b * c = 9 —> c = 9 / b

b = 1,5 cm
a = 1 / 1,5 = 2/3 [cm]
c = 9 / 1,5 = 6 [cm]

V = abc = 1,5 * 2/3 * 6 = 6 [cm^3]

Odpowiedź: Objętość tego prostopadłościanu wynosi 6 centymetrów sześciennych.

> etap wojewódzki

Przyjmijmy, że:
ab —> najmniejsze —> h1 = 8cm
ac —> średnie —> h2 = 4cm
bc —> największe —> h3 = 2cm
V kartonu = 1l = 1000cm^3
V soku = ?
V soku = abh1 = ach2 = bch3
8ab = 4ac = 2bc
8ab = 4ac i 8ab = 2bc i 4ac = 2bc
8b = 4c i 8a = 2c i 4a = 2b
2b = c i 4a = c i 2a = b

Mamy więc 3 boki kartonu:
a = a
b = 2a
c = 4a

V kartonu = a * 2a * 4a = 1000
8 * a^3 = 1000
2a = 10
a = 5 [cm]

a = 5cm
b = 10cm
c = 20cm
V soku = 8ab = 8 * 5 * 10 = 400 [cm^3]
V soku = 4ac = 4 * 5 * 20 = 400 [ cm^3]
V soku = 2bc = 2 * 10 * 20 = 400 [cm^3]

Odpowiedź: Objętość soku w kartonie wynosi 400 centymetrów sześciennych.

CIEKAWOSTKA – JAK INACZEJ OBLICZYĆ OBJĘTOŚĆ PROSTOPADŁOŚCIANU?
Na początku nauki chemii (obecnie jest to siódma klasa szkoły podstawowej) uczniowie uczą się o przyborach chemika. Wśród z nich pewnie znalazł się i cylinder miarowy. To dzięki niemu można w inny sposób znaleźć objętość, w naszym przypadku, prostopadłościanu. Teraz więc przedstawię krok po kroku, jak zmierzyć objętość prostopadłościanu przy użyciu cylindra miarowego.

Przygotuj wszystkie potrzebne rzeczy: cylinder miarowy, woda, prostopadłościan, kartka i coś do pisania.
Wlej do cylindra miarowego wodę. Pamiętaj, żeby nie wypełnić go całkowicie płynem!
Na cylindrze powinna być podziałka. Odczytaj, jaką objętość ma woda, która przed chwilą została wlana przez ciebie do cylindra. Wynik zapisz na kartce. Możesz nazwać objętość jako .
Włóż prostopadłościan do cylindra miarowego, poczekaj aż woda ,,uspokoi się”. (to znaczy jak nie będzie już fal na powierzchni wody).
Odczytaj, jaką teraz objętość pokazuje cylinder miarowy. Zapisz tę objętość jako .
Sprawdź, czy drugi wynik jest większy od pierwszego i oceń, czy wydaje ci się, że nie został popełniony żaden błąd w pomiarach. Jeżeli wszystko jest dobrze, odejmij pierwszą objętość od drugiej objętości . Otrzymany wynik to objętość prostopadłościanu.

Wskazówka:
> Jeżeli nie masz żadnego prostopadłościanu, który możesz zanurzyć w wodzie, to mam dla ciebie propozycję. Możesz ulepić swój własny prostopadłościan (lub każdą inną bryłę tak naprawdę) i ją wykorzystać. Możesz do tego użyć na przykład plasteliny lub modeliny, albo czegoś innego. Byle było bezpiecznie!
> Jeżeli nie masz cylindra miarowego (a większość osób nie ma – w tym ja) możesz użyć każdego kubka, miski lub pudełka z miarką. Ważne, żeby pokazywała objętość płynu, który jest tam wlany.

ZAKOŃCZENIE – PODSUMOWANIE:
Obliczanie objętości prostopadłościanu wcale nie jest takie straszne! Na koniec chciałam zauważyć, że wokół nas jest mnóstwo prostopadłościanów! Może na nie nie zwracamy uwagi, ale one są wszędzie. No dobrze, większość jest trochę udziwniona (mogą mieć wnęki, zaokrąglone wierzchołki) i to już nie są do końca prostopadłościany. Ale tak ogólnie – popatrz na budynki. książki, klocki, pudełka. Większość ma kształt prostopadłościanu. Mam nadzieję, że od czasu do czasu będziesz sobie o tym przypominał(a). Może kiedyś spojrzysz na pudełko i zapragniesz zabawić się w matematyka i postanowisz obliczyć objętość! Kto wie!

*wszystkie grafiki zostały wykonane przez autorkę w programie Paint oraz Paint 3D*