Opracowanie:
Obwód elipsy

Obwód elipsy

Zweryfikowane

Elipsa to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny. Ich suma odległości od dwóch ogniskowych elipsy jest wielkością stałą. Można obliczyć pole ({displaystyle S=pi ab.}) i obwód elipsy ( {displaystyle ell approx pi left({tfrac {3}{2}}(a+b)-{sqrt {ab}}right),}). W obu wzorach oraz to półosie elipsy. Elipsa ma swoje odzwierciedlenie w przestrzeni trójwymiarowej (tak jak prostokąt ma odzwierciedlenie w prostopadłościanie) o nazwie elipsoida. Każda elipsa ma dwie osie – małą i wielką. Na ilustracji zaznaczone są półosie oraz b.
Kalkulator pól i objętości - elipsa

Wzór na obwód elipsy wygląda tak:
{displaystyle ell approx pi left[3(a+b)-{sqrt {(3a+b)(a+3b)}};right]=pi left[3(a+b)-{sqrt {10ab+3(a^{2}+b^{2})}};right],}
choć można go zapisać dokładniej jako:
{displaystyle ell approx pi left(a+bright)left(1+{frac {3h}{10+{sqrt {4-3h}}}}right)}, gdzie: {displaystyle h=(a-b)^{2}/(a+b)^{2}.}
Mimo wszystko, powyższe wzory są przybliżeniem. Dlatego dokładny wzór brzmi tak (gdzie to zupełna całka eliptyczna drugiego rodzaju oraz to mimośród elipsy):
{displaystyle ell =4aE(e^{2})=4aEleft(1-{frac {b^{2}}{a^{2}}}right)=4aint _{0}^{frac {pi }{2}}{sqrt {1-e^{2}sin ^{2}theta }} dtheta =4aint _{0}^{1}{frac {sqrt {1-e^{2}t^{2}}}{sqrt {1-t^{2}}}} dt.}

Wzór na obwód elipsy jest tak zwaną całką eliptyczną oraz nie da się go w ogólnym przypadku zapisać w postaci algebraicznej. Dlatego najczęściej podaje się przybliżony wzór na obwód elipsy: π , gdyż jest najprostszym do obliczeń wzorem.

Przykładowe zadanie:
1.
Oblicz obwód elipsy o półosiach: 2cm oraz 5cm.
Dane:
a = 2cm
b = 5cm
Szukane:
= ?
Obliczenia:
π
π
π
π

Odpowiedź: Elipsa o półosiach 2 cm i 5 cm ma obwód około 23 cm.

Powyższe zadanie zostało zweryfikowane przez nauczyciela
To top