Dziedzina funkcji

Wyznaczanie dziedziny funkcji
Dziedzinę funkcji możemy wyznaczyć na dwa poniższe sposoby:
a) Na podstawie jej wykresu
b) Na podstawie jej wzoru

Wyznaczanie dziedziny funkcji za pomocą jej wykresu
Jeśli chcemy wyznaczyć dziedzinę funkcji patrząc na jej wykres, to musimy wszystkie punkty wykresu tej funkcji zrzutować na oś . Wszystkie punkty, które znajdą się na osi utworzą dziedzinę czyli zbiór argumentów należących do funkcji.

Przykład:

Na powyższym układzie współrzędnych na zielono jest zaznaczony wykres funkcji. Aby odczytać dziedzinę musimy „zrzucić” na oś wszystkie jej argumenty znajdujące się na wykresie. Otrzymujemy zbiór liczb zaznaczony kolorem niebieskim. Po zrobieniu tego możemy odczytać dziedzinę. W tym przypadku widzimy, że dziedziną funkcji jest zbiór . W taki sposób zapisuje się dziedzinę: . Analogicznie postępujemy w innych przypadkach, gdy z wykresu trzeba odczytać dziedzinę funkcji.

Z wykresu funkcji można także odczytać argumenty, dla których funkcja ma określoną wartość.
Rozwiążmy poniższy przykład:
Odczytaj z wykresu funkcji argumenty, dla których funkcja ma wartość równą 2.

Aby rozwiązać to zadanie musimy postępować w następujący sposób:
a) Znajdujemy punkt o rzędnej 2 na osi
b) Przez punkt o rzędnej 2 prowadzimy prostą prostopadłą do osi , aż ta prosta przetnie się z wykresem funkcji. Na powyższym wykresie ta prosta przecinałaby się w dwóch punktach. Punkt o współrzędnych nie jest jednym z nich, ponieważ jest tam przedział otwarty, co wyklucza punkt z dziedziny funkcji.
c) Odczytujemy współrzędne punktów przecięcia wykresu z narysowaną przez nas prostą. Te punkty mają współrzędne: oraz .
d) Podajemy pełną odpowiedź: Funkcja dla dwóch argumentów, oraz , osiąga wartość 2, a więc i .

Wyznaczanie dziedziny funkcji za pomocą jej wzoru
W wielu przypadkach podaje się tylko wzór funkcji. Wtedy ZAWSZE musimy sami wyznaczyć dziedzinę funkcji. Jest to bardzo istotne ponieważ jej nieuwzględnienie może wpłynąć na ilość rozwiązań i zniekształcić rozwiązanie zadania. Czym w takim razie jest dziedzina funkcji opisana wzorem? Jest to zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których wszystkie działania znajdujące się we wzorze są możliwe do obliczenia, a więc można obliczyć wartość tej funkcji. Przed wyznaczeniem dziedziny zakładamy, że należy ona do zbioru liczb rzeczywistych, po czym wykluczamy z niej wszystkie argumenty, dla których nie można obliczyć wartości.

Przykłady:

a)
Aby obliczyć wartość funkcji musimy wykonać mnożenie przez oraz do wyniku mnożenia dodać . Oba te działania są możliwe do obliczenia dla każdej liczby rzeczywistej, a więc dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych, co oznaczamy jako: .

b)
W tym przykładzie działanie, które musimy wykonać to obliczenie pierwiastka kwadratowego z liczby znajdującej się pod nim. Zauważmy, że pierwiastkować (w przypadku pierwiastka parzystego stopnia) możemy tylko liczby dodatnie lub równe zero. Znaczy to, że wyrażenie: musi być większe lub równe zero, zatem . Dziedzina funkcji jest zbiorem .

c)
Aby obliczyć wartość funkcji musimy do liczby dodać , po czym podzielić przez otrzymaną w wyniku wcześniejszego dodawania liczbę. Żeby obliczyć wartość, mianownik wyrażenia musi być różny od zera, ponieważ dzielenie przez zero nie jest możliwe. Zatem obliczamy przy jakich argumentach mianownik jest równy zero aby te argumenty wykluczyć z dziedziny. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia.
≠
≠
≠ ≠
≠ ≠
Wykluczamy te dwa punkty z dziedziny, więc jest ona zbiorem .

Ważne informacje przy wyznaczaniu dziedziny:
a) Nie dzielimy przez zero (mianowniki ułamków nie mogą być zerem).
b) Pierwiastkować możemy tylko liczby dodatnie lub równe zero, jeśli pierwiastek jest parzystego stopnia.
c) Jeżeli mamy ułamek, to obliczamy argumenty, dla których mianownik jest równy zero.
d) Wyznaczamy dziedzinę KAŻDEGO wzoru funkcji.
e) Zwracamy uwagę na to, czy przedziały są zamknięte czy otwarte.

Poniżej znajdują się różne rodzaje zadań na wyznaczanie dziedziny funkcji z wykresu.
Zadanie 1.
Na podstawie wykresu funkcji wyznacz:

a) dziedzinę funkcji
„Zrzucamy” wszystkie punkty wykresu na oś , po czym odczytujemy dziedzinę .
b) argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartość 2
Rysujemy prostą prostopadłą do osi , aż prosta przetnie się z wykresem funkcji. Widzimy, że poprowadzona prosta przecina się z wykresem w czterech punktach o współrzędnych: , , oraz , co znaczy że:




c) wartość funkcji dla argumentu
Szukamy na wykresie punktu o współrzędnej . Odczytujemy współrzędną tego punktu. Wartością funkcji dla argumentu jest .
d) współrzędne punktu wykresu przecinającego oś
W tym podpunkcie postępujemy podobnie jak w poprzednim. Skoro punkt przecina oś , to wiemy że jego współrzędna . Odczytujemy współrzędną tego punktu. Współrzędne punktu przecinającego oś to .

Zadanie 2.
Na podstawie wykresu funkcji uzupełnij poniższe zapisy:
a)
„Zrzucamy” wszystkie punkty wykresu na oś , odczytujemy przedział utworzony przez te punkty i uzupełniamy zapis:

b)
Ten zapis oznacza wartość , którą osiąga funkcja dla jednego lub więcej argumentów. Musimy więc sprawdzić na wykresie które argumenty taką wartość dadzą. Rysujemy prostą równoległą do osi i odczytujemy współrzędne punktów, w których prosta oraz wykres się przecinają. Te punkty mają współrzędne , oraz . Zapis będzie wyglądał w ten sposób:

c)
Ten zapis oznacza argument, który przyjmuje daną wartość. Nie może być to więcej niż jedna wartość. Żeby go policzyć wystarczy znaleźć na wykresie punkt o współrzędnej , a następnie odczytać jego współrzędną . Jest ona naszym wynikiem. Zapis wygląda tak:

d)
Ponieważ mamy podaną współrzędną postępujemy analogicznie do podpunktu c, szukamy na wykresie punkt o odciętej () równej zero i odczytujemy jego rzędną (). Zapisujemy odpowiedź:

Teraz policzmy kilka przykładów związanych z wyznaczaniem dziedziny funkcji z jej wzoru.
Wszystkie poniższe zadania mają takie samo polecenie:
Wyznacz dziedzinę funkcji .

Zadanie 1.

Aby obliczyć dziedzinę musimy mieć możliwość wykonania wszystkich działań zawartych we wzorze. Tzn. że w tym przypadku mianownik nie może być zerem. Licznik nie wpłynie na dziedzinę, bo wyrażenie w nim jest wykonalne dla każdej liczby rzeczywistej. Sprawdźmy zatem dla jakich argumentów nie można obliczyć wartości.
≠
≠
Co znaczy że mamy już ustaloną dziedzinę dla tego przykładu:

Zadanie 2.

W tym przykładzie jedyne działanie, którego nie możemy wykonać dla każdej liczby rzeczywistej, to wyrażenie w mianowniku. Ustalamy przy jakich argumentach mianownik się wyzeruje. Licznik nie wpływa na dziedzinę. Zauważmy, że w mianowniku jest mnożenie, co oznacza że jeśli przynajmniej jeden z nawiasów będzie wynosił zero, to cały mianownik będzie zerem.
≠ ≠
≠ ≠
≠ ≠
≠ ≠
Tym sposobem wyznaczyliśmy dziedzinę:

Zadanie 3.

Aby wszystkie działania we wzorze tej funkcji były wykonalne, musimy wyrzucić z dziedziny wszystkie argumenty, dla których mianownik się zeruje. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia (na różnicę kwadratów).

Jeśli przynajmniej jeden nawias da zero, to mianownik też będzie zerem. A więc:
≠ ≠
≠ ≠
≠ ≠
Zatem zapisujemy dziedzinę:

Zadanie 4.

Także w tym zadaniu licznik nie wpływa na dziedzinę, jednak mianownik już tak. Aby go obliczyć nie możemy bezpośrednio skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia. Musimy zatem policzyć deltę z wyrażenia znajdującego się pod kreską ułamkową. Wtedy będziemy wiedzieć gdzie są miejsca zerowe tego wyrażenia i które argumenty w związku z tym wykluczyć z dziedziny.
Wzór na deltę:



,
Argumenty, dla których mianownik staje się zerem to oraz , a więc dziedzina to:

Zadanie 5.

Tak samo jak w poprzednich przykładach, licznik nie wpłynie na dziedzinę. Aby dowiedzieć się kiedy mianownik się zeruje musimy skorzystać w tym przypadku z metody grupowania, ponieważ mamy cztery wyrazy. Wyciągamy oraz przed nawias.

Otrzymujemy postać iloczynową:

Drugi nawias rozkładamy za pomocą wzoru skróconego mnożenia (na różnicę kwadratów).

Teraz obliczymy argumenty zerujące mianownik.
≠ ≠ ≠
≠ ≠ ≠
Wyrzucamy powyższe argumenty z dziedziny i podajemy odpowiedź:

Zadanie 6.

W tym przykładzie należy wziąć pod uwagę kilka rzeczy. Po pierwsze, mamy ułamek więc całe wyrażenie w mianowniku nie może być zerem. Po drugie we wzorze funkcji są pierwiastki drugiego stopnia, więc wyrażenia pod nimi muszą być albo dodatnie albo równe zero. To sprawia że wyrażenie pod pierwiastkiem w liczniku musi być większe lub równe zero, a wyrażenie pod pierwiastkiem w mianowniku większe od zera.
Zaczynamy od licznika:




Teraz liczymy mianownik:
>
>
<

Aby wyznaczyć dziedzinę szukamy części wspólnej obu przedziałów i otrzymujemy:

Zadanie 7.

Zwróćmy uwagę na dwie rzeczy. Mianownik nie może być równy zero i wyrażenie pod pierwiastkiem musi być większe lub równe zero, co daje nam założenie, że wyrażenie pod pierwiastkiem jest większe od zera. Wyrażenie w liczniku jest możliwe do obliczenia dla każdej liczby rzeczywistej. Liczymy mianownik:
>
Zostawiamy po lewej stronie tylko wartość bezwzględną, co daje nam:
>
Mamy tu wartość bezwzględną, a więc i dwa przypadki:
> <
Liczymy
> <
Na koniec ustalamy część wspólną i podajemy odpowiedź:


Aby obliczyć wartość funkcji musimy: do dodać , oraz podzielić przez otrzymaną w wyniku wcześniejszego dodawania liczbę. Aby wszystkie działania były do obliczenia, mianownik ułamka nie może być równy zero, ponieważ dzielenie przez zero jest niewykonalne. Zatem liczymy w jakich punktach wyrażenieW wielu przykładach podaje się tylko wzór funkcji. Wtedy ZAWSZE musimy sami wyznaczyć dziedzinę. Jest to bardzo ważne ponieważ nieuwzględnienie dziedziny wpływa na ilość rozwiązań i może spowodować, że zadanie będzie źle rozwiązane. Czym jednak jest dziedzina funcji=