Wzór delta

Delta

Delta (Δ) stosowana w fizyce najczęściej oznacza „zmianę”.
Jednak w matematyce oznacza ona najczęściej tak zwany wyróżnik równania kwadratowego. Za pomocą delty możemy z łatwością obliczyć miejsca zerowego równania kwadratowego, lub obliczyć drugą współrzędną wierzchołka paraboli.

Deltę zapisujemy w postaci małego trójkąta: Δ

Wzór na deltę

Mając funkcję kwadratową postaci
gdzie a, b i c są współczynnikami w równaniu kwadratowym i dla a =/= 0
wzór na deltę wygląda następująco:

Przykłady

Oblicz deltę w podanych trójmianach kwadratowych:

a)
b)
c)

Wystarczy podstawić do wzoru:
a) Δ =
b) Δ =
c) Δ =

Za pomocą delty możemy określić ilość pierwiastków równania kwadratowego

Jeżeli Δ > 0 – to równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki
Jeżeli Δ = 0 – to równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek
Jeżeli Δ < 0 to równanie kwadratowe nie ma pierwiastków

Przykłady:

Równanie = 0 ma dwa pierwiastki, ponieważ delta jest dodania:

Δ =

Równanie = 0 nie ma pierwiastków, ponieważ delta jest ujemna:

Δ =

Delta w równaniach kwadratowych

Delta najczęściej wykorzystywana jest do szukania pierwiastków trójmianu kwadratowego i rozwiązywania równań kwadratowych oraz wielomianowych.

Żeby rozwiązać równanie kwadratowe , obliczamy deltę ze wzoru i jeżeli jest dodania, to podstawiamy wartość do wzoru na obliczenie pierwiastków równania kwadratowego:

Gdzie to szukane pierwiastki równania kwadratowego, a a i b to współczynniki w równaniu kwadratowym.

Gdy delta jest równa 0, równanie ma tylko jeden pierwiastek, który możemy obliczyć ze wzoru:

Natomiast gdy delta jest mniejsza niż zero, to równanie kwadratowe nie ma pierwiastków.

Przykłady

a) Rozwiąż równanie

Obliczamy deltę
Δ =

Delta jest dodatnia, zatem trójmian kwadratowy ma dwa pierwiastki. Obliczamy pierwiastek z delty

Podstawiamy do wzoru na pierwiastki

Rozwiązaliśmy równanie kwadratowe, ponieważ znaleźliśmy x.

Przykład II

Rozwiąż równanie

Powyższe równanie jest równaniem sprowadzalnym do równania kwadratowego.
Pod podstawiamy zmienną

Obliczamy deltę

Podstawiamy do wzoru na pierwiastki równania kwadratowego

, to rozwiązanie odrzucamy, ponieważ nie może być liczbą ujemną

zatem
v

Delta w wierzchołku paraboli

Kolejną częstą sytuacją, która zmusza nas do obliczenia delty jest znalezienie wierzchołka paraboli.
Współrzędne wierzchołka paraboli (p, q) określa się wzorami:

p =

q =

Dla a i b jako współczynników w trójmianie kwadratowym, p jako pierwszej współrzędnej wierzchołka, q jako drugiej współrzędnej

Przykład

Znajdź wierzchołek paraboli trójmianu kwadratowego:

Obliczamy najpierw pierwszą współrzędną wierzchołka:

p =

Oraz drugą współrzędną (w tym celu najpierw musimy policzyć deltę)

Podstawiamy do wzoru na współrzędną y

Odpowiedź: Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie

Zadania

Teraz czas na przećwiczenie wiadomości teoretycznych w konkretnych zadaniach. Na samym dole znajdziecie odpowiedzi razem z rozwiązaniami.

Zadanie 1)

Określ liczbę pierwiastków równania kwadratowego w zależności od parametru

Zadanie 2)

Podaj liczbę rozwiązań równania

Zadanie 3)

Rozwiąż równanie

Odpowiedzi do zadań

Zadanie 1)

Wiedząc że ilość pierwiastków równania kwadratowego zależy od delty, liczymy deltę.

Δ = 16 – 4 2 c
Δ = 16 – 8c

Rozpisujemy warunki.

dla delty dodatniej równanie ma dwa pierwiastki, dla delty równej 0 równanie ma jeden pierwiastek, a dla delty mniejszej od zera równanie nie ma pierwiastków, zatem:

16 – 8c > 0 – dwa pierwiastki
16 – 8c = 0 – jeden pierwiastek
16 – 8c < 0 - brak pierwiastków Rozwiązujemy równania

Zadanie 2)

Obliczamy deltę:
Δ =

Delta jest dodatnia, zatem równanie ma dwa pierwiastki.

Zadanie 3)

Obliczamy deltę:

Wstawiamy dane do wzoru na pierwiastki równania kwadratowego:

Rozwiązaliśmy równanie kwadratowe znajdując pierwiastki równania.

Miłej nauki!