Granice ciągów z liczbą e

Granice ciągów z liczbą e
1. Zacznę od tego co w matematyce oznacza liczba e. Jest to liczba Eulera lub liczba Nepera, która w przybliżeniu wynosi 2,718281828459045. Liczba ta jest różnie definiowana, jednak jej podstawową definicją jest suma szeregu:
e = 1 + + + + + + + +…+ , gdzie ∞ to nieskończoność;
Warto zauważyć, że n! to silnia liczby naturalnej n, czyli iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n włącznie:
n! = 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*…*(n – 2)*(n – 1)*n.
2. W matematyce ciąg liczbowy to ciąg liczb o określonych własnościach np.:
2, 4, 6, 8, 10, 12… – jest to ciąg kolejnych liczb parzystych dodatnich.
3. Granica ciągu liczbowego to wartość do której dążą wyrazy tego ciągu. Granicą każdego ciągu skończonego jest jego ostatni wyraz. Ciąg liczbowy nieskończony to taki ciąg, którego wyrazy rosną lub maleją nieograniczenie. Często mówi się, że taki ciąg dąży do nieskończoności. Granicę ciągu zapisuje się jako lim.
4. Liczbę Eulera można również zapisać jako:
e = (1 + )n, przy n dążącym do nieskończoności.

przykład 1
Oblicz granice ciągów an przy n dążącym do nieskończoności.
UWAGA: Wzór na granice ciągu z liczbą e:
(1 + )n = ek, przy n dążącym do nieskończoności;
a) an = (1 + )7n
(1 + )7n
[(1 + )n]7, zamieniamy nawias na liczbę Eulera;
e7
b) an = (1 + )n
(1 + )n, podstawiamy wzór na granice ciągu;
e2,5
c) an = ()3n + 8
()3n + 8
()3n + 8
( + )3n + 27 – 19
( + )3(n + 9) – 19
(1 + )3(n + 9) – 19
(1 + )3(n + 9)*(1 + )-19
[(1 + )n + 9]3*(1 + )-19, podstawiamy wzór na granicę ciągu;
(e-2)3*1 = e-6