Liczby algebraiczne

Liczby algebraiczne są liczbami rzeczywistymi, czyli zespolonymi, które są pierwiastkami pewnego niezerowego wielomianu o współczynnikach wymiernych, czyli również całkowitych.

Wykazuje się, że istnieje wielomian nierozkładalny nad którego pierwiastkiem jest dla każdej liczby algebraicznej . Stopniem liczby jest stopień wielomianu.

Ciało (struktura formalizująca własności algebraiczne liczb rzeczywistych i wymiernych) tworzone jest przez zbiór liczb algebraicznych.

Ferdinand Lindemann w 1882 roku udowodnił, że liczba π nie może być liczbą algebraiczną, bo jest przestępna, czyli jest liczbą rzeczywistą lub innymi słowy liczba zespolona niebędąca liczbą algebraiczną. Dzięki temu dowiódł, że nie jest możliwa kwadratura koła, co oznacza, że nie da się narysować kwadratu, który będzie miał pole równe polu danego koła.

Przykłady liczb algebraicznych:
1 . Wszystkie liczby wymierne są liczbami algebraicznymi stopnia 1, ponieważ są pierwiastkami wielomianu nierozkładalnego .
2 . Liczbą algebraiczną 2 stopnia może być liczba , ponieważ jest pierwiastkiem wielomianu .