Równanie kwadratowe

Równanie kwadratowe

Wstęp:
Równania kwadratowe są niezwykle ważne w matematyce, ponieważ pozwalają znaleźć miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Dzięki otrzymanym wynikom będziemy wiedzieć, w których miejscach dana funkcja będzie przecinać oś OX (i czy w ogóle). Parabola może przecinać oś odciętych w dwóch miejscach, albo może mieć z tą osią tylko jeden punkt wspólny, czy też w ogóle jej nie „dotykać”. Z tego opracowania dowiesz się jak rozwiązywać równania kwadratowe – zarówno te proste jak i te trudniejsze.

Co to równanie kwadratowe:
Równaniem kwadratowym (jak sama nazwa mówi), nazywać będziemy każde równanie mające przy „x” wykładnik 2 (czyli każde równanie zawierające w sobie „x2„). Kiedy wszystkie wartości tego równania przeniesiemy na jedną stronę (czyli na drugiej stronie pozostanie 0) otrzymamy wzór pewnej funkcji kwadratowej, a miejsca zerowe tejże funkcji będą rozwiązaniami podanego równania kwadratowego. Przykłady równań kwadratowych:
x2 + x = 1 5x2 = 0,125 4x = 2x2 32x2 + 20,4x – 93 = 1,5x2 – 64x –

Pierwszy sposób rozwiązania równań kwadratowych:
Pierwszym sposobem na rozwiązanie równania kwadratowego jest doprowadzenie równania do takiej postaci, aby „x2” było po jednej stronie, a pozostałe wartości po drugiej np. x2 – 4 = 0 x2 = 4. W takiej postaci łatwiej jest zauważyć rozwiązanie. Zadajemy sobie wtedy pytanie „jaka liczba podniesiona do kwadratu da nam 4?”. Od razu nasuwa nam się liczba 2. Pamiętać jednak należy, że to nie jedyna liczba będąca rozwiązaniem tego równania. Przecież liczba (- 2) podniesiona do kwadratu również da nam 4 (o czym nie wolno nam zapominać!). A zatem podane równanie ma dwa rozwiązania: x = 2 x = (- 2).
Powyższym sposobem można rozwiązać dowolne równanie postaci: , gdzie „n” i „k” to dowolne liczby rzeczywiste. Przećwiczmy poznany sposób na poniższym przykładzie.

Przykład 1:
Rozwiąż podane równania kwadratowe:
a) x2 – 25 = 0
b) 3x2 + 24 = 33
c) 2x2 + 12 = 10

a) Korzystając z zaprezentowanej wyżej metody rozwiązujemy równanie:
x2 – 25 = 0 (najpierw przerzucamy minus 25 na prawą stronę (zmieniając znak))
x2 = 25 („jakie liczby podniesione do kwadratu dają nam 25?” – są to oczywiście liczby 5 oraz (- 5)) piszemy rozwiązanie:
x = 5 x = (- 5)

b) Postępujemy analogicznie:
3x2 + 24 = 33 (przerzucamy 24 na drugą stronę)
3x2 = 33 – 24 (wykonujemy odejmowanie)
3x2 = 9 (dzielimy obustronnie przez 3)
x2 = 3 („jakie liczby podniesione do kwadratu dadzą nam 3?” – są liczby oraz ( )) piszemy rozwiązanie:

c) 2x2 + 12 = 10 (przerzucamy 12 na drugą stronę)
2x2 = 10 – 12 (wykonujemy odejmowanie)
2x2 = – 2 (dzielimy obustronnie przez 2)
x2 = – 1
Nie ma żadnej liczby rzeczywistej, której kwadrat jest ujemny (kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nie mniejszy niż 0), a zatem powyższe równanie jest sprzeczne (nie ma rozwiązania).

Drugi sposób rozwiązywania równań kwadratowych:
Drugim sposobem na rozwiązanie równania kwadratowego jest wyciągnięcie wspólnego czynnika przed nawias np. załóżmy, że mamy równanie: 2x2 + 6x = 0. Zauważmy, że po lewej stronie tego równania możemy wyciągnąć wspólny czynnik (2x) przed nawias. Wtedy nasze równanie będzie wyglądało tak: 2x(x + 3) = 0. Zauważmy, że po lewej stronie mamy teraz iloczyn dwóch liczb (2x oraz (x + 3)), a po prawej mamy 0. Żeby iloczyn dwóch liczb był równy 0 to jeden z czynników tego iloczynu też musi być równy 0 (zero razy cokolwiek da nam zawsze zero), a zatem albo 2x = 0 albo (x + 3) = 0, czyli x = 0 (2 0 = 0) lub x = (- 3) (- 3 + 3 = 0). Więc rozwiązaniami powyższego równania są liczby 0 oraz (- 3).
Powyższym sposobem można rozwiązać dowolne równanie postaci: , gdzie „n” i „k” to dowolne liczby rzeczywiste. Przećwiczmy poznany sposób rozwiązywania równania kwadratowego na poniższym przykładzie.

Przykład 2:
Rozwiąż podane równania kwadratowe:
a) 6x2 – 3x = 0
b) 5x2 + 21x = x2 + 5x
c) x2 + x = x

a) Wykorzystując poznaną wyżej metodę rozwiązujemy równanie:
6x2 – 3x = 0 (wyciągamy wspólny czynnik przed nawias, jakim jest 3x)
3x (2x – 1) = 0
Żeby iloczyn dwóch liczb był równy 0 to jeden z czynników też musi być równy 0, czyli:
3x = 0 lub (2x – 1) = 0 (lub oznaczamy jako „„)
3x = 0 2x – 1 = 0 (lewe równanie dzielimy przez 3 / w prawym równaniu przenosimy (- 1) na drugą stronę)
x = 0 2x = 1 (prawe równanie dzielimy przez 2 i piszemy rozwiązanie)
x = 0 x = 0,5

b) Postępujemy analogicznie:
5x2 + 21x = x2 + 5x (upraszczamy równanie przenosząc wszystko na jedną stronę)
4x2 + 16x = 0 (wyciągamy wspólny czynnik przed nawias – w tym wypadku jest to 4x)
4x (x + 4) = 0
Żeby iloczyn dwóch liczb był równy 0 to jeden z czynników też musi być równy 0, czyli:
4x = 0 x + 4 = 0 (lewe równanie dzielimy przez 4 / w prawym równaniu przenosimy 4 na drugą stronę)
x = 0 x = (- 4)

c) Rozwiązujemy równanie:
x2 + x = x (odejmujemy obustronnie x)
x2 + x = 0 (wyciągamy wspólny czynnik przed nawias, którym jest „x”)
x (x + ) = 0
Aby iloczyn dwóch liczb był równy 0 to jeden z czynników też musi być równy 0, czyli:
x = 0 x + = 0 (w prawym równaniu przenosimy na drugą stronę)
x = 0 x = ()

Trzeci sposób rozwiązywania równań kwadratowych:
Trzecim sposobem na rozwiązanie równania kwadratowego jest zwijanie do wzoru skróconego mnożenia. Zacznijmy od przypomnienia sobie niektórych wzorów skróconego mnożenia (przydatnych w rozwiązywaniu równań kwadratowych) :
– kwadrat sumy: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
– kwadrat różnicy: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Teraz możemy przejść do szczegółowego wyjaśnienia metody. Załóżmy, że mamy równanie: x2 + 2x + 1 = 0. Zauważmy, że lewą stronę tego równania możemy zwinąć do wzoru skróconego mnożenia (wykorzystując wzór na kwadrat sumy). Równanie przybierze wtedy postać: (x + 1)2 = 0 (bo x2 + 2x + 1 = (x + 1)2). Teraz po lewej stronie mamy jakąś konkretną wartość podniesioną do kwadratu, a po prawej stronie 0. Spośród wszystkich liczb rzeczywistych tylko zero podniesione do kwadratu da nam w wyniku zero. A zatem skoro
(x + 1)2 = 0 to (x + 1) = 0, czyli x = (- 1).
Powyższym sposobem można rozwiązać dowolne równanie, które da się zwinąć do wzoru skróconego mnożenia. Przećwiczmy poznany sposób rozwiązywania równania kwadratowego na poniższym przykładzie.

Przykład 3:
Rozwiąż podane równania kwadratowe:
a) 6x2 + 2x + 1 = 2x2 – 2x
b) 10x2 – 40x -5 = x2 + – 30 – 10x

a) Korzystając z poznanej wyżej metody rozwiązujemy równanie:
6x2 + 2x + 1 = 2x2 – 2x (przenosimy wszystko na jedną stronę i upraszczamy)
4x2 + 4x + 1 = 0 Z
Zauważmy, że lewą stronę równania możemy zwinąć do wzoru skróconego mnożenia, korzystając ze wzoru na kwadrat sumy:
(2x + 1)2 = 0 (skoro (2x + 1)2 = 0 to (2x + 1) też musi równać się zero)
2x + 1 = 0 (przenosimy 1 na prawą stronę)
2x = – 1 (dzielimy obustronnie przez 2 i piszemy rozwiązanie)
x = () = (- 0,5)

b) Analogicznie jak powyżej:
10x2 – 40x -5 = x2 – 30 – 10x (przenosimy wszystko po kolei na jedną stronę i upraszczamy)
9x2 – 40x -5 = – 30 – 10x
9x2 – 40x + 25 = – 10x
9x2 – 30x + 25 = 0
Zauważmy, że lewą stronę równania możemy zwinąć do wzoru skróconego mnożenia, korzystając ze wzoru na kwadrat różnicy:
(3x – 5)2 = 0 (skoro (3x – 5)2 = 0 to (3x – 5) też musi równać się zero)
3x – 5 = 0 (przenosimy (- 5) na prawą stronę)
3x = 5 (dzielimy obustronnie przez 3 i piszemy rozwiązanie)
x = =

Czwarty sposób rozwiązywania równań kwadratowych:
Doszliśmy do czwartego, a zarazem najważniejszego sposobu na rozwiązywanie równań kwadratowych. Ogólnie dowolne równanie kwadratowe możemy zapisać w następujący sposób: ax2 + bx + c = 0, gdzie a, b oraz c to liczby rzeczywiste, (ale „a” musi być różne od zera, bo w przeciwnym razie równanie nie będzie kwadratowe) „a” stoi zawsze przy „x2″, „b” jest zawsze przy „x”, a „c” to tzw. wyraz wolny. Aby rozwiązać równanie takiej postaci musimy najpierw policzyć tzw. deltę (Δ). Wzór na deltę jest następujący: Δ = b2 – 4ac. Gdy delta wychodzi nam dodatnia (Δ > 0) to nasze równanie ma dwa rozwiązania, odpowiednio: x1 = x2 = . Gdy delta jest równa zero (Δ = 0) to nasze równanie ma tylko jedno rozwiązanie: x = . Gdy natomiast delta jest ujemna (Δ < 0) to nasze równanie nie ma rozwiązań, czyli jest sprzeczne.
Korzystanie z powyższych wzorów jest na tyle przydatne, że za ich pomocą da się rozwiązać dowolne równanie kwadratowe. Żeby lepiej utrwalić sobie te wzory przeanalizujmy sobie poniższy przykład.

Przykład 4:
Rozwiąż podane równania kwadratowe:
a) 2x2 – x – 1 = 0
b) 16x2 – 24x = – 9
c) -5x2 – 11 = – 6x – 9
d) 7x2 + 13x – 1 = 3x2 + 12x + 4

a) Mamy podane równanie: 2x2 – x – 1 = 0 (współczynnikiem a jest tu 2, b = (- 1) oraz c = (- 1)). Korzystając z powyższych wzorów najpierw liczymy deltę:
Δ = b2 – 4ac = (- 1)2 – 4 2 (- 1) = 1 – 8 (- 1) = 1 + 8 = 9
Delta wyszła nam 9 (Δ > 0), więc nasze równanie będzie miało dwa rozwiązania (x1 lub x2):
x1 = = = = = 1
x2 = = = = = () = (- 0,5)
A zatem nasze równanie ma dwa rozwiązania: x1 = 1 x2 = (- 0,5)

b) Dane mamy równanie: 16x2 – 24x = – 9. Po przeniesieniu (- 9) na lewą stronę otrzymamy: 16x2 – 24x + 9 = 0 (teraz, w takiej postaci, łatwiej możemy dostrzec, że a = 16, b = (- 24) oraz c = 9). Liczymy deltę:
Δ = b2 – 4ac = (- 24)2 – 4 16 9 = 576 – 64 9 = 576 – 576 = 0
Wyszło nam, że delta jest równa 0 (Δ = 0), więc nasze równanie będzie miało jedno rozwiązanie:
x = = = = = 0,75
A zatem nasze równanie ma jedno rozwiązanie: x = 0,75

c) Mamy dane równanie: -5x2 – 11 = – 6x – 9. Przenosimy wszystko na jedną stronę i upraszczamy:
-5x2 – 11 = – 6x – 9
-5x2 – 11 + 9 = – 6x
-5x2 + 6x – 11 + 9 = 0
-5x2 + 6x – 2 = 0 (teraz łatwiej zauważyć, że a = (- 5), b = 6 oraz c = (- 2))
Liczymy deltę:
Δ = b2 – 4ac = 62 – 4 (- 5) (- 2) = 36 + 20 (- 2) = 36 – 40 = (- 4)
Wyszło nam, że delta jest równa (- 4), czyli jest ona ujemna (Δ < 0). Toteż nasze równanie nie będzie miało żadnego rozwiązania (żadna liczba rzeczywista nie może być rozwiązaniem tego równania). A zatem jest to równanie sprzeczne.

d) Podane mamy równanie: 7x2 + 13x – 1 = 3x2 + 12x + 4. Przenieśmy więc wszystko na jedną stronę i uprośćmy:
7x2 + 13x – 1 = 3x2 + 12x + 4
4x2 + 13x – 1 = 12x + 4
4x2 + x – 1 = 4
4x2 + x – 5 = 0 (teraz widzimy, że a = 4, b = 1 oraz c = (- 5))
Liczymy deltę:
Δ = b2 – 4ac = 12 – 4 4 (- 5) = 1 + 16 5 = 1 + 80 = 81
Wyszło nam, że delta jest równa 81 (Δ > 0), więc nasze równanie będzie miało dwa rozwiązania (x1 lub x2):
x1 = = = = 1
x2 = = = = = (- 1,25)
A zatem nasze równanie ma dwa rozwiązania: x1 = 1 x2 = (- 1,25)

Podsumowanie:
Z tego opracowania nauczyłeś się rozwiązywać równania kwadratowe. Poznałeś wiele metod jak tego dokonać, w tym uniwersalną metodę z deltą, dzięki której rozwiążesz każde równanie tego typu. Od teraz równania kwadratowe nie będą przed tobą kryły żadnych tajemnic.