Opracowanie:
Równanie falowe

Równanie falowe

Zweryfikowane

Równania falowe

Definicja:

równania falowe – równania różniczkowe cząstkowe (równania, w których występuje niewiadoma funkcja co najmniej dwóch zmiennych oraz niektóre z jej pochodnych cząstkowych) drugiego rzędu, które opisują ruch falowy

Zapis typowego równania różniczkowego cząstkowego:

gdzie:
k jest liczbą całkowitą większą lub równą 1
x należy do podzbioru U
U to otwarty podzbiór {mathbb R}^{n}.

Takie równanie nazywa się równaniem różniczkowym cząstkowym k-tego rzędu.

Ogólna postać równania falowego:

{displaystyle {begin{cases}{frac {partial {}^{2}}{partial t^{2}}}u-c^{2}cdot triangle _{x}u=0,&u:mathbb {R} ^{n}times mathbb {R} _{+}to {}mathbb {R} ,xin mathbb {R} ^{n},tin mathbb {R} _{+}\[2pt]u(x,0)=f(x),&f:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} \[2pt]{frac {partial {}}{partial t}}u(x,0)=g(x),&g:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} end{cases}}}

gdzie mathbb{R}_+ oznacza zbiór wszystkich liczb rzeczywistych nieujemnych
u(x,t) – niewiadoma opisująca wychylenie fali w punkcie x w czasie t
fizycznie stała c – prędkość rozchodzenia się fali w danym ośrodku
{displaystyle triangle _{x}} – laplasjan (operator różniczkowy drugiego rzędu, opisany przez Pierre Simona de Laplace – wybitnego francuskiego naukowca, matematyka i fizyka)
g – początkowy impuls

Operator d’Alemberta:

Równanie falowe można przedstawić skrótowo za pomocą operatora d’Alemberta:

{displaystyle square u(x,t)=0.}

Powyższe zadanie zostało zweryfikowane przez nauczyciela
To top