Całka podwójna

Całka podwójna
1. Zacznę od tego czym jest całka. Można powiedzieć, że jest to suma nieskończenie wielu nieskończenie małych wartości. Całkę oznaczamy symbolem ∫, który pochodzi od łacińskiego słowa Summa oznaczającego sumę. Całki mają bardzo wiele zastosowań w matematyce i fizyce, np. liczenie pól powierzchni i długości łuków.
Wzór na całkowanie:
∫ f(x)dx, gdzie dx oznacza, że całkujemy funkcję f(x) po zmiennej, którą jest x; symbol dx w większości całek nie wpływa na wynik działania, jednak pisze się go ze względu formalnego.
2. Całka podwójna to najprościej mówiąc całka dla dwóch zmiennych, czyli suma wartości funkcji dwóch zmiennych:
∫∫D f(x, y)dxdy, gdzie f(x, y) to funkcja zmiennych x i y, natomiast dx i dy oznacza, że całkujemy tą funkcję po tych dwóch zmiennych, a D to dany obszar płaszczyzny.

przykład 1
Oblicz całkę podwójną:
∫∫D x2ydxdy dla 0 ≤ x ≤ 1 i 0 ≤ y ≤ 2
∫∫Dx2ydxdy = ∫10 {∫20x2ydy}dx =(obliczamy całkę nieoznaczoną)
… ∫x2ydy = x2∫ydy =x2 y2 + C = x2y2 + C =(podstawiamy do całki oznaczonej)
…∫10[x2y2]|20dx = ∫10[x222] – [x202]dx = ∫102x2dx(obliczamy całkę nieoznaczoną)
…∫2x2dx = 2∫x2dx = 2*x3 + C = x3 + C =(podstawiamy do całki oznaczonej)
…[x3]|10 = [*13] – [*03] =
odp. Ta całka podwójna wynosi .