Geometria analityczna

Geometria analityczna

Geometria analityczna- nazywana też geometrią na płaszczyźnie kartezjańskiej, jest to dział geometrii, dotyczący figur umieszczonych w układzie współrzędnych.
Aby dobrze zrozumieć geometrię analityczną, należy sobie pierwsze przypomnieć funkcję liniową oraz odczytywanie współrzędnych punktów.

Współrzędne punktów
Pierwsza współrzędna to współrzędna x-owa, a druga to y-owa.


Równanie prostej
>równanie kierunkowe prostej:
y=ax+b
gdzie a to współczynnik kierunkowy prostej, a b to wyraz wolny
>równanie ogólne prostej:
Ax+By+C=0
>równanie ogólne prostej przechodzącej przez dwa punkty A(xa,ya) i B(xb,yb):

Współczynnik kierunkowy prostej:
>obliczamy ze wzoru:
, gdzie A(xa,ya) i B(xb,yb)
>lub tworzymy układ równań i podstawiamy współrzędne obu podanych punktów (dzięki temu sposobowi obliczymy również wyraz wolny b)
>warto również pamiętać, że:

Przykład:
Dane są punkty A(2,6) i B(-4,2) i obliczamy współczynnik kierunkowy prostej:
Pierwszy sposób:
Drugi sposób:

Proste równoległe
>dwie proste o równaniach kierunkowych y=a1x+b1 i y=a2x+b2 są równoległe jeżeli: a1=a2
>dwie proste o równaniach ogólnych A1x+B1y+C1=0 i A2x+B2y+C2=0 są równoległe jeżeli: A1B2-A2B1=0
Przykład:
Proste y=2x+3 oraz y=2x-9 są równoległe, ponieważ 2=2, czyli a1=a2.
Proste o równaniach 3x+2y+8=0 oraz 6x+4y+2=0 są równoległe, ponieważ

Proste prostopadłe
>dwie proste o równaniach kierunkowych y=a1x+b1 i y=a2x+b2 są prostopadłe jeżeli: a1a2=-1
>dwie proste o równaniach ogólnych A1x+B1y+C1=0 i A2x+B2y+C2=0 są równoległe, ponieważ: A1A2+B1B2=0
Przykład:
Proste o równaniach y=-3x+1 oraz y=x-3 są prostopadłe, ponieważ .
Proste -3x+2y-4=0 oraz 2x+3y+6=0 są prostopadłe, ponieważ .

Odległość między punktami
Odległość między punktami A(x, y) i B(x, y) obliczamy za pomocą wzoru:

Przykład:
Odległość między punktami A(3, -4) i B(-2, 8) wynosi:

Środek odcinka
Środkiem odcinka AB o końcach w punktach A(x, y) i B(x, y) jest punkt:

Przykład:
Współrzędne środka odcinka AB, gdzie A(,5) i B(,-3) wynoszą:

Odległość punktu od prostej
Odległość punktu P(x0,y0) od prostej o równaniu ogólnym Ax+By+C=0 wynosi:

Przykład:
Odległość punktu A(1,4) od prostej 2x-5y-30=0 jest równa:

Okrąg w układzie współrzędnych
>okrąg o środku w początku układu współrzędnych i promieniu r>0 spełnia równanie:
>okrąg o środku w punkcie S(a,b) i promieniu większym od zera (r>0) spełnia równanie:

jest to równanie okręgu w postaci kanonicznej
>równanie okręgu w postaci ogólnej jeżeli okrąg ma środek w punkcie S(a,b) i jego promień jest większy od zera:

gdzie
Przykład:
Równanie okręgu o środku w punkcie S(2,-3) i promieniu 3 jest równe:
lub

Okrąg opisany na trójkącie i wpisany w trójkąt
>aby wyznaczyć równanie okręgu opisanego na trójkącie należy obliczyć dwie symetralne (symetralna – prosta prostopadła przechodząca przez środek odcinka) danego trójkąta, ich punkt przecięcia to środek okręgu
>jeżeli chcemy wyznaczyć równanie okręgu wpisanego trójkąt należy obliczyć dwie dwusieczne trójkąta, ich punkt przecięcia to środek okręgu
Przykład okręgu opisanego na trójkącie:
Równanie okręgu opisanego na trójkącie o wierzchołkach A(-1,4), B(9,3) i C(-3,9) jest równe:
Krok 1: Wyznaczamy środek odcinków, weźmy odcinek AB i BC:


Krok 2: Obliczamy współczynniki kierunkowe prostych przechodzących przez punkty AB i BC, a później symetralnych:
, więc współczynnik kierunkowy symetralnej to liczba odwrotna i przeciwna do aAB, czyli symetralnej
, więc symetralnej=
Krok 3: Wyznaczamy symetralne przechodzące przez SAB i SBC:

, czyli y=-x+6
oraz

, czyli y=2x
Krok 4: Wyznaczamy punkt przecięcia symetralnych, czyli środek okręgu opisanego na trójkącie:
{y=-x+6
{y=2x
2x=-x+6
3x+6
x=2 i y=22=4
czyli S(2,4)
Krok 5: Obliczamy promień okręgu, czyli długość od środka trójkąta do jednego z jego wierzchołków:

Krok 6: Wyznaczamy równanie okręgu:

Wzajemne położenie dwóch okręgów
Dwa okręgi względem siebie mogą być ułożone na pięć sposobów:
>okręgi styczne zewnętrznie lub wewnętrznie (mają jeden punkt wspólny):

>okręgi przecinające się (mają dwa punkty wspólne):

>okręgi rozłączne zewnętrznie i wewnętrznie (nie mają punktów wspólnych):

Wzajemne położenie okręgu i prostej
Okrąg i prosta mogą być położone względem siebie na trzy różne sposoby:
>okrąg i prosta mają dwa punkty wspólne (prostą nazywamy w tym przypadku sieczną):

>okrąg i prosta mają jeden punkt wspólny (prostą nazywamy styczną):

>prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych:


Koło w układzie współrzędnych
Koło o środku w punkcie S(a,b) i promieniu większym od zera (r>0) spełnia nierówność:

Przykład:
Czy punkt P(-1.-1) należy do koła o środku w punkcie S() i promieniu równym 3?
Rozwiązanie: Podstawiamy dane punktu P do nierówności opisującej koło:

A więc punkt P należy do tego koła.

Działania na wektorach
>wektor oznaczamy pisząc strzałkę nad danym wektorem:

>obliczanie wektora AB o współrzędnych punktów A(xa,ya) oraz B(xb,yb):

>suma wektora u=[u1,u2] oraz wektora v=[v1,v2]:

>różnica wektora u=[u1,u2] oraz wektora v=[v1,v2]:

>iloczyn wektora u=[u1,u2] przez liczbę a:

>długość wektora u=[u1,u2]:

>wektor zerowy jest równy

Symetria osiowa
>symetria osiowa względem osi OX przekształca punkt P=(x,y) w punkt P’=(x,-y)
>symetria osiowa względem osi OY przekształca punkt P=(x,y) w punkt P’=(-x,y)
>przykłady figur geometrycznych mających symetrię osiową (figury osiowosymetryczne): kwadrat, prostokąt, trójkąt równoboczny i równoramienny, koło, romb, trapez równoramienny
Przykład:
Wyznacz punkty symetryczne względem osi OX i osi OY do punktu P(3,4).
Rozwiązanie: Punkt P’, który jest symetryczny względem osi OX, będzie miał przeciwną współrzędną y, a punkt P”, który jest symetryczny względem osi OY będzie miał przeciwną współrzędną x.


Symetria środkowa:
>symetria środkowa względem punktu O=(a,b) przekształca punkt P=(x,y) w punkt P’=(2a-x,2a-y)
>symetria środkowa względem początku układu współrzędnych przekształca punkt P=(x,y) w punkt P’=(-x,-y)
>przykłady figur geometrycznych mających symetrię środkową (figury środkowosymetryczne): kwadrat, koło, romb, równoległobok
Przykład:
Wyznacz punkt P’ symetryczny do punktu P(-2,5) względem punktu O(1,2).
Rozwiązanie: Stosujemy poznane wcześniej przekształcenie (2a-x,2a-y) i podstawiamy do niego nasze dane:
P’=(21+2, 22-5)=(2+2,4-5)=(4-1)


Jednokładność
Jest to przekształcenie prostej, odcinka albo figury geometrycznej. Jednokładność oznaczamy dużą literą J, a jej skalę małą literą k (gdzie k≠0).
Jednokładność o środku O to przekształcenie, gdzie każdemu punktowi P można przyporządkować punkt P’. Aby to zrobić wystarczy przez środek O i punkt P wyznaczyć prostą i dzięki podanej skali wyznaczyć punkt P’.

W pierwszym przykładzie odległość punktu P’ od punktu O jest dwa razy większa niż odległość punktu P od punktu O, dlatego skala jednokładności jest równa 2. Dodatkowo punkt P’ leży po tej samej stronie prostej co punkt P, więc skala jednokładności jest dodatnia.
Z kolei w drugim przykładzie odległość punktu P’ od punktu O jest 3 razy mniejsza niż odległość punktu P od punktu O oraz punkt P’ leży po przeciwnej stronie niż punktu P, więc skala jednokładności jest ujemna.

Pole trójkąta w układzie współrzędnych
Pole trójkąta ABC o wierzchołkach A(xa,ya), B(xb,yb) oraz C(xc,yc) jest równe:

Przykład:
Dany jest trójkąt o wierzchołkach A(3,1), B(-8,5) i C(-2,-4). Jego pole wynosi: