Pierwiastki matematyka

Definicja pierwiastka

W powyższym zapisie:
a – liczba podpierwiastkowa
n – stopień pierwiastka
b – wynik pierwiastkowania

Wykres funkcji
Wykres funkcji wygląda następująco:

Pierwiastkowanie jest działaniem przeciwnym do potęgowania. Pamiętajmy, że umiejętność potęgowania jest kluczowa, aby zrozumieć na czym polega pierwiastkowanie.
Jeżeli chcemy obliczyć pierwiastek to najpierw należy zwrócić uwagę na stopień pierwiastka. To stopień pierwiastka informuje nas do której potęgi należy podnieść niewiadomą liczbę, aby otrzymać liczbę podpierwiastkową. Zawsze jest podany stopień pierwiastka oprócz liczby 2. Stopień pierwiastka jest równy 2, wtedy gdy nie ma zapisanego stopnia.
Pierwiastek stopnia 2 jest nazywany pierwiastkiem kwadratowym.
Pierwiastek stopnia 3 jest nazywany pierwiastkiem sześciennym.

Symbolu pierwiastka
Do dnia dzisiejszego nie wiadomo, kto wymyślił symbol pierwiastka. Według niektórych źródeł za twórcę symbolu podaje się Arabów, a konkretnie Abu al-Hasana ibn Aliego al-Qalasadiego. Jednak prawdy prawdopodobnie nigdy nie poznamy… Według wielu źródeł symbol pierwiastka pochodzi od arabskiej litery albo od łacińskiej litery w przetłumaczeniu na język polski słowa „korzeń”.

Pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej?
Nie istnieje pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej w świecie liczb rzeczywistych. Przyczyna jest prosta: żadna liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu nie da nam liczby ujemnej.

Należy jednak pamiętać, że istnieje też dział matematyki, który nazywa się „Liczby zespolone”. Podczas przygody z liczbami zespolonymi można dowiedzieć się o tzw. „jednostce urojonej” i o możliwym pierwiastku ujemnym z liczby. Te liczby mają kluczowe zastosowanie m. in. w elektrotechnice i w inżynierii, ale to jest dział będący dopiero na studiach matematycznych. Nie będę w tym opracowaniu rozwijał tego działu.

Tabliczka pierwiastkowania
Podobnie jak przy mnożeniu istnieje tabliczka mnożenia to istnieje także tabliczka pierwiastkowania.
Poznanie tabliczki pierwiastkowania daje nam możliwość szybkiego i sprawnego stwierdzenia ile wynosi podany pierwiastek.
Tabliczka pierwiastkowania prezentuje się następująco:

Usuwanie niewymierności z mianownika
W przypadku, gdy w mianowniku mamy pierwiastek to należy go zlikwidować. W tym celu trzeba licznik i mianownik pomnożyć przez pierwiastek znajdujący się w mianowniku, np. . Tak naprawdę ten pierwiastek dzielimy przez liczbę 1 zapisaną jako , więc to działanie jest zgodne z zasadami matematycznymi.

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka
Jeżeli chcemy wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka to musimy się najpierw nauczyć rozkładu na czynniki pierwsze liczby podpierwiastkowej. Wtedy po prawej stronie powstaje nam zbiór liczb pierwszych, które należy pomnożyć ze sobą. Otrzymamy wtedy iloczyn liczb pierwszych, który jest równy liczbie, którą rozkładamy na czynniki pierwsze.
Dla przypomnienia: liczby pierwsze to takie liczby, które mają dwa dzielniki: 1 i samą siebie. Oto przykładowe, (najczęściej używane do rozkładu liczby na czynniki pierwsze) liczby pierwsze: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31…

Do rozkładu liczby na czynniki pierwsze warto sobie przypomnieć najważniejsze cechy podzielności:
Liczba jest podzielna przez 2, jeżeli ostatnią cyfrą liczby jest 0, 2, 4, 6 lub 8.
Liczba jest podzielna przez 3, jeżeli suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3.
Liczba jest podzielna przez 5, jeżeli ostatnią cyfrą tej liczby jest 0 lub 5.
Liczba jest podzielna przez 7, jeżeli suma cyfr mnożonych od prawej przez kolejne potęgi liczby 3 jest podzielna przez 7

Przykładowo mamy . Rozkład liczby podpierwiastkowej, czyli 1050 znajduje się poniżej.

Analiza rozkładu liczby 1050:
Najmniejszą liczbą pierwszą przez, którą dzieli się 1050 jest 2, ponieważ ostatnią cyfrą liczby 1050 jest 0. Zapisujemy 2 po prawej stronie. 1050_2=525. 525 zapisujemy po lewej stronie. Liczba 525 nie dzieli się przez 2, ale dzieli się przez 3, ponieważ suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3. Liczbę 3 zapisujemy po prawej stronie. 525_3=175. Liczbę 175 zapisujemy po lewej stronie. Podana liczba nie dzieli się bez reszty przez 2, nie dzieli się też przez 3, ale dzieli się przez 5, ponieważ ostatnią cyfrą tej liczby jest 5. Liczbę 5 dajemy po prawej stronie. 175_5=35. Tą liczbę zapisujemy po lewej. Liczba 35 nie jest podzielna przez 2, nie jest podzielna przez 3, jest za to podzielna przez 5, ostatnią cyfrą tej liczby jest 5. 35_5=7. 7 dajemy po lewej. Liczba 7 jest liczbą pierwszą, czyli przepisujemy ją po prawej stronie, a po lewej stronie zapisujemy liczbę 1.

Z tą wiedzą to już łatwo będzie zrozumieć nam jak wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka.

Zauważmy, że = 5. Liczbę 5 dajemy przed pierwiastek, więc jeżeli dana liczba występuje w rozkładzie na czynniki pierwsze 2 razy to przed pierwiastek dajemy tą liczbę. Wszystkie liczby wyłączone wymnażają się.
Liczby bez pary nie pierwiastkują się, czyli pozostają pod pierwiastkiem, te liczby można wymnożyć a więc:

Włączanie czynnika pod znak pierwiastka
Jeżeli chcemy włączyć czynnik pod znak pierwiastka to należy tą liczbę, która stoi przed znakiem pierwiastka wpisać pod znak pierwiastka i podnieść do potęgi stopnia tego pierwiastka, czyli, np. jeżeli jest to pierwiastek kwadratowy to liczbę przed pierwiastkiem podnosimy do potęgi 2, a jeżeli jest to pierwiastek sześcienny to do potęgi 3. Na końcu mnożymy tą liczbę potęgowaną przez liczbę stojącą pod pierwiastkiem. Przykład:

Podstawowe wzory na pierwiastki
Poniżej przedstawiam wzory dotyczące pierwiastków, które mogą ułatwić rozwiązywanie zadań.

Pierwiastek z ułamka
Pierwiastek z ułamka zwykłego
Podczas gdy mamy do czynienia z pierwiastkiem z ułamka zwykłego to należy osobno spierwiastkować licznik i osobno mianownik. Jeżeli mamy do czynienia z liczbą mieszaną to należy stworzyć z liczby mieszanej ułamek niewłaściwy. W wyniku końcowym robimy wszystko, aby w mianowniku nie było pierwiastka. W tym celu licznik i mianownik mnożymy przez pierwiastek będący w mianowniku. Na końcu (jeżeli jest to możliwe) skracamy. W naszym przykładzie skrócimy liczby całkowite.
Przykłady:

Pierwiastek z ułamka dziesiętnego
W przypadku pierwiastka z ułamka dziesiętnego najłatwiej jest zamienić ułamek dziesiętny na ułamek zwykły. Po otrzymaniu ułamka zwykłego postępujemy jak opisane jest pod nagłówkiem „Pierwiastek z ułamka zwykłego”.
Drugim sposobem jest spierwiastkowanie liczby pod pierwiastkiem pomijając przecinek. Następnym krokiem będzie ustalanie liczby miejsc po przecinku w wyniku, aby to ustalić należy liczbę miejsc po przecinku pod pierwiastkiem podzielić przez stopień naszego pierwiastka.
Przykład:

Działania na pierwiastkach
Dodawanie i odejmowanie pierwiastków
Dodawanie i odejmowanie pierwiastków mających te same liczby podpierwiastkowe i ten sam stopień
Pierwiastki mające ten sam stopień oraz tą samą liczbę podpierwiastkową nazywamy pierwiastkami podobnymi. W takim wypadku dodajemy i odejmujemy liczby przed pierwiastkiem, a pierwiastki przepisujemy. Robimy to na zasadzie , np. 2 słoiki + 3 słoiki = 5 słoików.
Przykłady:

Dodawanie i odejmowanie pierwiastków mających różne liczby podpierwiastkowe i ten sam stopień
Jeżeli pierwiastki posiadają różne liczby podpierwiastkowe i ten sam stopień to należy z liczby podpierwiastkowej stworzyć iloczyn dwóch liczb, z czego jedna musi być kwadratem liczby naturalnej i trzeba wyciągnąć czynnik przed znak pierwiastka.
Przykłady:

Mnożenie i dzielenie pierwiastków
Pierwiastki możemy mnożyć i dzielić ze sobą pod warunkiem, że są takiego samego stopnia.
Mnożenie pierwiastków
Wzory na mnożenie pierwiastków:

Sposoby na mnożenie i dzielenie pierwiastków:
I sposób:
1) Mnożenie przez siebie liczby podpierwiastkowe.
2) Przepisanie liczby stojącej przed pierwiastkiem.
3) Rozłożenie liczby podpierwiastkowej na iloczyn dwóch liczb. Jedna liczba musi być kwadratem liczby naturalnej.
4) Wyciąganie czynnika przed znak pierwiastka i mnożenie go przez liczbę stojącą przed pierwiastkiem.

II sposób:
1) Rozkładanie liczby podpierwiastkowej na iloczyn (mnożenie) dwóch liczb. Jedna z tych liczb musi być kwadratem liczby naturalnej.
2) Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka
3) Mnożenie liczb podpierwiastkowych przez siebie i liczb stojących przed pierwiastkiem też przez siebie.

Dzielenie pierwiastków
W dzieleniu pierwiastków liczbę podpierwiastkową dzielimy przez liczbę podpierwiastkową, a liczbę przed pierwiastkiem przez liczbę przed pierwiastkiem.
Wzory na dzielenie pierwiastków:

Pierwiastek z potęgi
Wzory na pierwiastkowanie potęg:

Dzięki znajomości tych wzorów z łatwością możemy policzyć, np.:

Potęgę do której jest podniesiona liczba podpierwiastkowa można (o ile to możliwe) skrócić z stopniem pierwiastka, np.:

ZADANIA

ZADANIE 1
Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka.

Wskazówka: Przy tym zadaniu należy sobie przypomnieć rozkład liczby na czynniki pierwsze, a co za tym idzie cechy podzielności. Znajomość tych zagadnień jest kluczowa do rozwiązania podanych przykładów. Pod rozwiązaniem tego zadania zamieściłem rozkład tych liczb na czynniki pierwsze.

a)
b)
c)
d)

ZADANIE 2
Oblicz podane działania na pierwiastkach.

Wskazówka: Podane działania dotyczą dodawania i odejmowania pierwiastków. W przypadku dodawania i odejmowania pierwiastków o tej samej liczbie podpierwiastkowej postępujemy według zasady 1 jabłko + 2 jabłka = 3 jabłka. Natomiast w przypadku różnych liczb podpierwiastkowych przedstawiamy liczbę w postaci iloczynu, z czego jeden składnik musi być potęgą liczby naturalnej. Szczegółowe wyjaśnienie znajduje się pod nagłówkiem „Dodawanie i odejmowanie pierwiastków”.

a)
b)
c)
d)
e)
f)

ZADANIE 3
Oblicz podane działania na pierwiastkach.

Wskazówka: Poniższe działania są związane z mnożeniem i dzieleniem pierwiastków. Mnożenie pierwiastków jest na zasadzie , a dzielenie .Pamiętajmy o wyłączaniu czynnika przed znak pierwiastka. Wyjaśnienie tego tematu znajduje się pod nagłówkiem „Mnożenie i dzielenie pierwiastków”.

a)
b)
c)
d)
e)
f)