Kąty

Kąt to przestrzeń między dwiema półprostymi, które mają wspólny początek. Wspólny początek półprostych nazywamy wierzchołkiem kąta, a każdą z półprostych ramieniem kąta.

Oznaczenie kątów
Kąty powszechnie oznacza się literami greckiego alfabetu. Najczęściej stosuje się te cztery greckie litery:
– alfa, – beta, – gamma, – delta. Podczas oznaczania miar kąta możemy także posługiwać się alfabetem łacińskim (tym którym używamy na co dzień). W takim wypadku ramię kąta oznaczamy pierwszą literą, np. A, wierzchołek drugą literą, np. B, a drugie ramię kąta trzecią literą, np. C. Wychodzi nam wtedy ∡ABC, który został zaznaczony na poniższym rysunku.

Stopnie
Stopień nie jest jednostką układu SI. 1 stopień zapisujemy jako 1°. Możemy również zapisać 1° jako 1 deg, ale jest to bardzo rzadko spotykane. Należy pamiętać o podanej zależności:
1 stopień = 60 minut kątowych = 3600 sekund kątowych = 216 000 tercji = 12 960 000 kwart
1° = 60′ = 3600” = 216 000‴ = 12 960 000””

Radiany a stopnie
W wielu dziedzinach nauki, np. w fizyce najczęściej stosowaną miarą kąta jest miara łukowa kąta. Jednostką miary łukowej kąta jest radian. Miara stopniowa jest bardziej popularna, dlatego częściej stosuje się ją w matematyce.
Podczas zamiany radianów na stopnie lub stopni na radiany należy pamiętać, że = 180°. Najlepiej jest stosować metodę proporcji do zamiany miary łukowej na miarę stopniową kąta i na odwrót. 1 rad jest równy , czyli ok. 57,29°. Znając liczbę radianów możemy policzyć ile dana liczba radianów ma stopni podstawiając liczbę radianów do wzoru:
° = .

Podział kątów ze względu na miarę
Kąt zerowy:
Kąt zerowy to taki, którego ramiona się pokrywają. Ten kąt ma miarę 0° .

Kąt ostry:
Kąt ostry to kąt, który ma miarę większą niż 0° i mniejszą niż 90°, czyli . Ten kąt jest większy od kąta zerowego, ale mniejszy od kąta prostego.

Kąt prosty:
Kąt prosty to kąt, którego miara jest równa 90° . Powszechnie kąt prosty zaznacza się łukiem z kropką.

Kąt rozwarty:
Kąt rozwarty to kąt, którego miara jest większa niż 90° i mniejsza niż 180°, czyli . Ten kąt jest większy od kąta prostego, ale mniejszy od kąta półpełnego.

Kąt półpełny:
Kąt półpełny to taki kąt, którego ramiona tworzą linię prostą. Miara takiego kąta wynosi 180° .

Kąt wklęsły:
Kąt wklęsły to kąt, którego miara jest większa niż 180°, ale mniejsza niż 360°, czyli . Podany kąt jest większy od kąta półpełnego, ale mniejszy od kąta pełnego.

Kąt pełny:
Kąt pełny to kąt mający miarę 360°. Ramiona kąta się pokrywają.

Kąt wypukły:
Kąt wypukły to kąt, którego miara jest większa niż 0° i mniejsza lub równa 180° . Do kątów wypukłych należą kąty ostre, proste, rozwarte i półpełne.

Kąty wierzchołkowe, przyległe, odpowiadające i naprzemianległe
Kąty wierzchołkowe:
Kąty wierzchołkowe to kąty mające wspólny wierzchołek i ramiona jednego kąta są przedłużeniem ramion drugiego kąta. Miara jednego kąta jest równa mierze drugiego kąta leżącego na przeciwko przy tym samym wierzchołku. W poniższym przypadku kąt i oraz i są wierzchołkowe, czyli oraz .

Kąty przyległe:
Kąty przyległe to dwa wypukłe kąty, które mają wspólne ramię i razem tworzą kąt półpełny, czyli suma miar tych kątów wynosi 180°. W poniższym przypadku kąt i są kątami przyległymi, czyli .

Kąty odpowiadające:
Kąty odpowiadające to kąty, które powstały przez przecięcie dwóch równoległych prostych trzecią prostą. Kąty odpowiadające leżą po tej samej stronie trzeciej prostej. Na poniższej ilustracji kąty są kątami odpowiadającymi, czyli miary tych kątów są takie same.

Kąty naprzemianległe:
Kąty naprzemianległe są kątami, które powstały przez przecięcie dwóch równoległych do siebie prostych trzecią prostą. Kąty naprzemianległe leżą po przeciwnej stronie trzeciej prostej. Na poniższej ilustracji kątami naprzemianległymi są kąty

Mierzenie kątów
Do sprawdzenia jaką miarę ma dany kąt najprostszym urządzeniem jest kątomierz. Wierzchołek kąta ustawiamy na tzw. celowniku kątomierza, a ramię kąta tak, aby ramię przechodziło przez kąt 0°. Celownik kątomierza na lewym rysunku znajduje się w środkowym punkcie koła (pod cyfrą „5”), natomiast w kątomierzu po prawej stronie celownik znajduje się pod kreską w środku kątomierza. Wyróżniamy kątomierze półkoliste (na lewym zdjęciu) i kątomierze kuliste (na prawym zdjęciu). Częściej używane, np. w szkole są kątomierze półkoliste .

Obliczanie sumy miar kątów wewnętrznych w figurze płaskiej znając ilość boków figury
Istnieje wzór na obliczanie sumy miar kątów wewnętrznych dowolnego wielokąta, jeżeli znamy tylko ilość boków.
Ten wzór to: ,gdzie n – ilość boków wielokąta.

Kąty w okręgu, czyli kąt środkowy i wpisany w okrąg
Kąt środkowy
Kąt środkowy w okręgu to kąt, którego wierzchołek znajduje się w środku okręgu, a ramionami są promienie tego okręgu.

Kąt wpisany
Kąt wpisany w okrąg to kąt, którego wierzchołek znajduje się w punkcie, który należy do okręgu, a ramionami kąta są cięciwy tego okręgu.

Twierdzenia dot. kąta środkowego i wpisanego w okrąg
1) Kąty wpisane, które są oparte na tym samym łuku są przystające, więc mają równe miary.
2) Jeśli na tym samym łuku oparty jest kąt wpisany i środkowy to miara kąta wpisanego jest 2 razy mniejsza niż miara kąta środkowego.

3) Kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym.

ZADANIA

ZADANIE 1
Pewien kąt ma miarę 34°. Ile ma ten kąt minut kątowych?
Wskazówka: 1 stopień to 60 minut kątowych. Najprostszą metodą do zamiany stopni na minuty jest metoda proporcji. Z tą wiedzą powinno pójść łatwo.

1° —— 60′
34° —- x

Odp. Kąt 34° ma 2040′, czyli 2040 minut kątowych.

ZADANIE 2
Miara łukowa kąta wynosi . Ile ten kąt ma stopni?
Wskazówka: Rozwiążmy to zadanie na 2 sposoby: metodą proporcji oraz metodą podstawiania danych do wzoru. Jeżeli postępujemy metodą proporcji to praktycznie wystarczy tylko pamiętać, że = 180°.

I sposób:

——— 180°
3 ——–
——–

II sposób:

Odp. Kąt o podanej mierze łukowej ma , czyli ok. 77,14°.

ZADANIE 3
Wielokąt foremny ma 10 boków. Podaj jaką miarę ma każdy kąt w tym wielokącie.

Wskazówka: Najlepiej jest zrobić plan rozwiązania tego zadania. Najpierw musimy wiedzieć ile wynosi suma miar kątów wewnętrznych tego wielokąta. Możemy skorzystać ze wzoru ,gdzie n to liczba boków. Jak już dowiemy się ile wynosi suma miar kątów tego wielokąta to należy otrzymaną liczbę podzielić przez liczbę kątów, a liczba kątów jest równa liczbie boków wielokąta. Otrzymana liczba będzie rozwiązaniem naszego zadania.

n = 10
= = =

Suma miar kątów dziesięciokąta wynosi 1440°.
Obliczamy miarę każdego kąta w dziesięciokącie foremnym.

Odp. W dziesięciokącie foremnym miara stopniowa każdego kąta wynosi 144°.