Rozwinięcie dziesiętne

Rozwinięcie dziesiętne to sposób przedstawiania liczb rzeczywistych w postaci ułamka dziesiętnego lub ułamka dziesiętnego nieskończonego.
Przypomnijmy jaką postać ma ułamek dziesiętny.
Jest to liczba „z przecinkiem”
Przykłady ułamków dziesiętnych
0,75
1,25
-3,8
9,007
Możemy stykać się również z ułamkami dziesiętnymi nieskończonymi. Jest to szczególny przypadek, gdy liczby po przecinku nie kończą się.
Przykłady ułamków dziesiętnych nieskończonych:
2,373526378….
1,728684682…
-9,008866987…
7,13142635874…
Ułamki dziesiętne nieskończone możemy mieć również okresowe. Są to takie ułamki dziesiętne w, których liczby po przecinku powtarzają się.
Przykłady ułamków dziesiętnych nieskończonych okresowych:
7,333333333….= 7,(3)
3,09755555555….= 3,097(5)
8,2727272727…= 8,(27)
-30,0875875875…= -30,0(875)
Żeby napisać rozwinięcie dziesiętne ułamka musimy podzielić licznik ułamka zwykłego przez jego mianownik.
Pokażmy to na przykładach i przy okazji przypomnimy dzielenie pisemne.
Zadanie 1.
Napisz rozwinięcia dziesiętne ułamków podanych poniżej. Określ czy jest to rozwinięcie dziesiętne skończone, okresowe czy nieskończone.
a)
b)
c)
d)
Zacznijmy od podpunktu a.
Ułamek .
Gdy mamy taką możliwość (w tym przypadku mamy) rozszerzamy ułamek zwykły, aby otrzymać ułamek dziesiętny.
Możemy rozszerzyć mianownik do 10.
Licznik i mianownik mnożymy razy 5.
Otrzymujemy ułamek .
Zapiszmy ten ułamek w postaci dziesiętnej.
Rozwinięcie dziesiętne ułamka to 0,5.
Jest to rozwinięcie dziesiętne skończone. (przy dzieleniu nie otrzymujemy reszty, tylko mamy dzielenie całkowite)
Podpunkt b.
Ułamek .
W tym przypadku również możemy rozszerzyć mianownik, aby otrzymać ułamek dziesiętny.
Do 10 nie możemy, w takim razie rozszerzmy do 100.
Pomnóżmy licznik i mianownik przez 25.
Otrzymujemy ułamek .
Zapiszmy w postaci ułamka dziesiętnego.
Rozwinięcie dziesiętne ułamka to 0,75.
Rozwinięcie dziesiętne skończone.
Podpunkt c.
Ułamek .
Zamieńmy ułamek na niewłaściwy. (Mianownik mnożymy przez liczbę całkowitą stojącą z przodu i dodajemy licznik, otrzymany wynik wpisujemy w miejsce dawnego licznika)
W takim razie będziemy mieć =
Kolejny przypadek w, którym mianownik możemy rozszerzyć do 10,100,1000,10000…
Możemy rozszerzyć mianownik do 10.
W takim razie mnożymy licznik i mianownik razy 2.
Otrzymany ułamek = .
Rozwinięcie dziesiętne tego ułamka to 1,2.
Rozwinięcie dziesiętne skończone.
Podpunkt d.
Ułamek .
W tym przypadku również rozszerzmy (do 100)
Mnożymy licznik i mianownik razy 25, żeby otrzymać w mianowniku 100.
Otrzymany ułamek to = .
Rozwinięcie dziesiętne tego ułamka to -2,25.
Jest to również rozwinięcie dziesiętne skończone.
Pokażmy teraz przykłady w których nie będziemy mogli rozszerzać ułamka.
Zadanie 2.
Podaj rozwinięcia dziesiętne ułamków podanych poniżej. Określ czy jest to rozwinięcie dziesiętne skończone, nieskończone, czy nieskończone okresowe. Skorzystaj z dzielenia pisemnego.
a)
b)
Żeby podać rozwinięcie dziesiętne jakiegoś ułamka, którego nie możemy rozszerzyć do 10,100,1000,10000… musimy podzielić licznik przez mianownik.
Przypomnimy przy okazji dzielenie pisemne.
a) Ułamek .
3 nie możemy rozszerzyć ani do 10, ani do 100, ani do 1000.
Musimy więc wykonać dzielenie.
Podzielimy 1:3.
0,33…
————–
W pierwszej kolejności sprawdźmy czy 3 dzieli jedynkę. Oczywiście odpowiedź brzmi nie, więc nad 1 piszemy 0.
-0 Skoro nie dzieliliśmy to wynik z mnożenia 3 i 0 jest równy 0 (pod jedynką piszemy 0)
————-
10 Spisujemy liczbę z góry ( w naszym przypadku jest tylko 1), więc spisujemy 0 i na górze stawiamy przecinek
-9 Pojawiła nam się liczba 10. W 10 liczba 3 mieści się 3 razy więc na górze piszemy 3. Wynik z mnożenia 3*3=9.
————–
10 Jak widzimy dalej mamy tak samo, więc po przecinku cały czas będzie się pojawiać 3.
-9
———-
1

Rozwinięcie dziesiętne ułamka to 0,33333….
Powtarzają nam się 3. Możemy więc zapisać 0,(3).
Jest to rozwinięcie dziesiętne okresowe (3 się powtarzają)
b) Ułamek .
Również nie możemy rozszerzyć do 10,100,1000….
Wykonajmy więc dzielenie 8:19.

0,42106….
——————–

-0
——————-
80
-76
————–
40
-38
—————
20
-19
—————-
10
-0
————–
100
-94
————
6
Jak możemy zauważyć w dzieleniu pojawiają nam się cały czas różne cyfry (nic się nie powtarza).
Rozwinięcie dziesiętne ułamka , ma więc postać 0,42106….
Następnie będą pojawiały nam się losowe liczby, które nie będą powtarzające się.
Mamy więc przykład rozwinięcia dziesiętnego nieskończonego (liczby po przecinku nigdy się nie skończą i nie powtarzają się więc nie jest to rozwinięcie okresowe)
Mam nadzieję że zrozumieliście kolejne zadanie napiszę Wam, żebyście mogli sobie sami poćwiczyć.
Przykłady do ćwiczeń
Napisz rozwinięcie dziesiętne ułamków. Określ jakie jest to rozwinięcie.
a)
b)
c)