Obwód trójkąta równoramiennego

Obwód trójkąta równoramiennego

Wstęp:
Z tego opracowania dowiesz się jak obliczyć obwód trójkąta równoramiennego.

Trójkąt równoramienny i jego obwód:
Trójkąt równoramienny to taki trójkąt, który ma dwa boki równej długości. Boki te nazywane są ramionami. Trzeci bok nazywa się podstawą trójkąta równoramiennego.
Obwód trójkąta to suma jego wszystkich boków, czyli obwód = a + b + c, gdzie a, b, c to boki dowolnego trójkąta. Natomiast obwód trójkąta równoramiennego będzie wyrażać się wzorem: obwód = a + b + b = a + 2b, gdzie „a” to podstawa trójkąta równoramiennego, a „b” to ramiona tego trójkąta. Przećwiczmy sobie obliczanie obwodu trójkąta równoramiennego na poniższych przykładach.

Przykład 1:
Oblicz obwód trójkąta równoramiennego:
a) o podstawie 2 cm i ramieniu 4 cm
b) o podstawie 3 cm i ramieniu 3 razy dłuższym od podstawy
c) o podstawie 4 cm dłuższej od ramienia długości 10 cm

a) Obwód trójkąta to suma długości jego wszystkich boków. Trójkąt ten jest równoramienny, czyli zbudowany jest z jednej podstawy i z dwóch ramion, a zatem obw. = 2 cm + 2 4 cm = 2 cm + 8 cm = 10 cm.

b) Podany trójkąt ma podstawę długości 3 cm. Jego ramię jest trzy razy dłuższe, a zatem ma długość równą: 3 3 cm = 9 cm. Obwód tego trójkąta równoramiennego wyniesie: obw. = 3 cm + 2 9 cm = 3 cm + 18 cm = 21 cm.

c) Podany trójkąt ma ramię długości 10 cm. Jego podstawa jest o 4 cm dłuższa, a zatem ma długość równą: 10 cm + 4 cm = 14 cm. Obwód tego trójkąta równoramiennego wyniesie zatem: obw. = 14 cm + 2 10 cm = 14 cm + 20 cm = 34 cm.

Wysokość trójkąta równoramiennego:

Wysokość trójkąta równoramiennego opuszczona (z wierzchołka łączącego ramiona) na podstawę, dzieli tę podstawę na dwie równe części (tak jak na rysunku obok). Wysokość ta dzieli również sam trójkąt na dwa identyczne trójkąty prostokątne, których przeciwprostokątne są ramionami wyjściowego trójkąta równoramiennego. Zapoznawszy się z powyższymi informacjami przeanalizujmy poniższy przykład.

Przykład 2:
Oblicz obwód trójkąta równoramiennego jeśli wysokość o długości 3 cm opuszczona jest na podstawę o długości 8 cm.

Szkicujemy rysunek pomocniczy dla lepszego zobrazowania zadania, z uwzględnieniem tego, że wysokość opuszczona na podstawę dzieli ją na dwie równe części o długości 4 cm każda
( = 4 cm). Wysokość ta dzieli również wyjściowy trójkąt na dwa przystające trójkąty prostokątne. Teraz obliczamy długość ramion trójkąta równoramiennego korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
32 + 42 = x2 (gdzie x oznacza długość ramienia)
Rozwiązujemy równanie: 9 + 16 = x2
25 = x2 (zarówno 5 jak i (-5) podniesione do kwadratu dają nam 25, ale (-5) odrzucamy, gdyż x wyraża długość, czyli zał. x > 0)
A zatem x = 5 cm, czyli możemy już policzyć obwód: obw. = 8 cm + 2 5 cm = 8 cm + 10 cm = 18 cm.

Przykład 3:
Oblicz obwód trójkąta równoramiennego prostokątnego, jeśli:
a) przyprostokątna ma długość 10 cm
b) przeciwprostokątna ma długość 4 cm

a) Szkicujemy opisaną sytuację:

Długość trzeciego boku obliczamy z twierdzenia Pitagorasa:
102 + 102 = d2
(gdzie d to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego/podstawa trójkąta równoramiennego)
102 + 102 = d2 (rozwiązujemy równanie)
100 + 100 = d2
200 = d2 (zał. d > 0)
d = = [cm]

A zatem szukany obwód wynosi: obw. = ( + 2 10) cm = ( ) cm.

b) Szkicujemy opisaną sytuację:

Długości pozostałych dwóch boków obliczamy z twierdzenia Pitagorasa:
a2 + a2 = 42
(gdzie a to przyprostokątna trójkąta prostokątnego/ramię trójkąta równoramiennego)
a2 + a2 = 42 (rozwiązujemy równanie)
2a2 = 16
a2 = 8 (zał. a > 0)
a = = [cm]

A zatem obwód tego trójkąta wynosi: obw. = (4 + ) cm = () cm.

Podsumowanie:
W tym opracowaniu dowiedziałeś się jak obliczać obwód dowolnego trójkąta równoramiennego.