Wartość oczekiwana

Wartość oczekiwana jest to wartość (wynik), której się spodziewamy w doświadczeniu losowym. Wartość oczekiwaną można zwać inaczej pierwszym momentem zwykłym. Ukazuje ona również średnią prawdopodobieństwa wszystkich możliwych wartości. Wartość oczekiwana może być liczbą ujemną. Wartość oczekiwaną wykorzystujemy również w fizyce kwantowej, lecz o niej nie będę pisał, gdyż jest to opracowanie czysto matematyczna

Załóżmy, że jeśli X jest zmienną losową na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) oraz o wartościach umiejscowionych w R, wtedy wartością oczekiwaną zmiennej losowej X nazywamy liczbę:

o ile ona istnieje czyli:
< +∞

nie jest to prawdziwy wzór na wartość oczekiwaną, o to prawdziwy wzór (raczej wzory):

a) gdy zmienna jest typu skokowego:

gdzie:
EX- wartość oczekiwana
x(i)– kolejna wartość zmiennej
p(x(i))- prawdopodobieństwo uzyskania konkretnej wartości

b) gdy zmienna jest typu ciągłego (wtedy wartość oczekiwaną szacujemy):

gdzie:
f(x)- funkcja gęstości prawdopodobieństwa
x- zmienna losowa

c) wzór na wartość oczekiwaną:

gdzie:
x1, x2, x3, …., xn – wartość każdej zmienne

P(x1), P(x2), P(x3), …, P(xn)- Prawdopodobieństwo wartości x1 , x2 , x3 , … ,xn

Czas na zadania:

Zad. 1
Prawdopodobieństwo uzyskania wygranego losu w loterii wynosi 11%. Kupujemy 32 losy. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wygranych losów.

Rozwiązanie:
Tradycyjnie warto wypisywać dane i szukane:
Dane:
x1– 32
P(x1)- 11%= 0,11

Szukane:
E(x)- ?

Podstawiamy dane do wzoru:
E(x)= =

Zad. 2
Oblicz wartość oczekiwaną dla danego ciągu liczb:

x1