Opracowanie:
Dodawanie potęg
Dodawanie potęg
Dodawanie potęg
W tym opracowaniu dowiesz się:
Czym jest potęga.
W jaki sposób mnoży się potęgi o tych samych podstawach.
W jaki sposób dodajemy potęgi.
1. Czym jest potęga?
Potęga jest to wynik działania które nazywamy potęgowaniem. Polega ono na tym, że liczbę znajdującą się w podstawie potęgi wymnażamy tyle razy ile jest to wskazane w wykładniku potęgi. Mówiąc prościej jest to wielokrotne wymnożenie tej samej liczby przez siebie. Aby lepiej zrozumieć wcześniej wymienione pojęcia takie jak podstawa potęgi oraz wykładnik potęgi, zaprezentuję sposób graficzny w jaki zapisujemy potęgę.
Potęga wygląda następująco
m-podstawa potęgi
n-wykładnik potęgi
Podstawa potęgi oznacza liczbę którą wymnażamy przez siebie, a wykładnik potęgi służy do tego aby określić ile razy podstawa potęgi będzie wymnożona przez siebie.
Załóżmy, że naszym wykładnikiem potęgi będzie 2. Wtedy nasza potęga wyglądała by następująco:
Następnie przyjmijmy, że naszym wykładnikiem potęgi będzie 3. Wtedy nasza potęga wyglądała by następująco:
Lecz co jeśli naszą podstawą potęgi będzie ułamek?
Wtedy zarówno licznik jak i mianownik podstawiamy do tej samej potęgi.
Przykład:
a)
Rozwiązanie:
b)
Rozwiązanie:
c)
Rozwiązanie:
d)
Rozwiązanie:
Lecz co jeśli wykładnikiem potęgi będzie liczba ujemna?
Wtedy podstawę potęgi przedstawiamy jako jej odwrotność, a z wykładnika potęgi usuwamy minusa.
Przykład:
a)
Rozwiązanie:
b)
Rozwiązanie:
c)
Rozwiązanie:
d)
Rozwiązanie:
Lecz co jeśli wykładnikiem potęgi będzie ułamek?
Wtedy podstawę ułamka podstawiamy do potęgi równej licznikowi wykładnika potęgi, a całość podstawiamy pod pierwiastek o stopniu równym mianownikowi wykładnika potęgi.
Przykład:
a)
Rozwiązanie:
b)
Rozwiązanie:
c)
Rozwiązanie:
d)
Rozwiązanie:
Ważne:
Jeżeli podstawa potęgi jest ujemna, to wynik potęgowania będzie dodatni jedynie wtedy, gdy podstawą potęgi będzie zero, dwa, lub wielokrotność dwójki oraz liczby do nich przeciwne. W pozostałych przypadkach wynik potęgowania będzie ujemny. Dzieje się tak, ponieważ każda liczba podniesiona do potęgi o wykładniku zero daje wynik jeden, a ujemne liczby pomnożone przez siebie parzystą liczbę razy dają wynik dodatni, ponieważ minus razy minus zawsze daje plus.
2. W jaki sposób mnoży się potęgi o tych samych podstawach?
Pomimo, iż naszym tematem przewodnim jest dodawanie potęg, to znajomość i umiejętność mnożenia potęg, będzie konieczna do tego by móc dodawać potęgi.
Potęgi o tych samych podstawach mnożymy, dodając do siebie wykładniki potęg, a podstawę potęgi pozostawiamy w pierwotnym stanie.
Przykład:
a)
b)
c)
d)
Potęgi o tych samych wykładnikach ale różnych podstawach, wykonujemy mnożąc ze sobą podstawy, a wynik mnożenia podstawiamy do wcześniej zapisanej przy obu podstawach potęgi.
Przykład:
a)
b)
c)
d)
3. W jaki sposób dodajemy potęgi?
Potęgi możemy do siebie dodawać tylko i wyłącznie wtedy gdy posiadamy takie same podstawy. Jednak gdy podstawy się od siebie różnią, wtedy trzeba każdą potęgę obliczyć osobno, a następnie wyniki dodać do siebie. Natomiast to w jaki sposób dodaje się potęgi o tych samych podstawach przedstawię przy pomocy kilku przykładów.
Przykład 1: Dodawanie potęg o tych samych podstawach oraz wykładnikach potęgi.
Przedstaw wynik za pomocą potęgi, lub jeśli to niemożliwe to przedstaw za pomocą iloczynu liczby całkowitej z potęgą:
a)
Rozwiązanie:
b)
Rozwiązanie:
c)
Rozwiązanie:
d)
Rozwiązanie:
Rozwiąż:
a)
Rozwiązanie:
b)
Rozwiązanie:
c)
Rozwiązanie:
d)
Rozwiązanie:
Przykład 2: Dodawanie potęg o tych samych podstawach.
Rozwiąż:
a)
Rozwiązanie:
b)
Rozwiązanie:
c)
Rozwiązanie:
d)
Rozwiązanie: