Wzór na obwód trójkata

W tym opracowaniu dowiesz się, jak obliczyć obwód trójkąta. Generalnie rzecz ujmując, wzór ten jest bardzo prosty. Jednakże, obliczając wiele zadań z tym zagadnieniem możemy się spotkać z kilkoma oznaczeniami obwodu. Z mojego doświadczenia widzę, że na początku podstawówki obwód określa się jako „Ob”, w późniejszych latach podstawówki, a więc w okolicach klasy 7 i 8 oznacza się obwód jako „O”, a w szkołach średnich zazwyczaj stosuje się określenie „L”. Mimo to, każde z tych oznaczeń jest poprawne. Ja w swoim opracowaniu dla ujednolicenia będę używać oznaczenia „O”.

Jak wygląda wzór na obwód trójkąta?
O = a + b + c ,gdzie a, b, c to boki trójkąta. Boki te mogą być wyrażone w dowolnych jednostkach długości, a więc np. w milimetrach, decymetrach, centymetrach, metrach, kilometrach itd.

Sumując więc długości wszystkich boków trójkąta otrzymujemy obwód trójkąta. W zależności od rodzaju trójkąta, jakiego obwód chcemy obliczyć, obliczenia te będą łatwiejsze bądź trudniejsze. Zacznijmy od podziału trójkątów na trzy grupy ze względu na ich długości boków:
Trójkąty równoboczne – Aby obliczyć obwód takiego trójkąta wystarczy znać długość jedynie jednego boku. Dlaczego tylko jednego skoro trójkąt ma trzy boki? A no dlatego, gdyż ten rodzaj trójkąta posiada wszystkie boki tej samej długości. W takim wypadku wzór na obwód trójkąta równobocznego będzie wyglądać następująco: O = 3a, gdzie a jest długością boku trójkąta. Jeśli mamy do czynienia z trójkątem o miarach kątów 60°, 60°, 60° to jest to również trójkąt równoboczny, gdyż każdy trójkąt równoboczny ma takie miary kątów.
Trójkąty równoramienne – Aby obliczyć obwód tego rodzaju trójkątów wystarczy znać długość ramienia i podstawy trójkąta. W związku z tym, że dwa boki (ramiona) są tej samej długości, wzór na obwód trójkąta równoramiennego prezentuje się następująco: O = 2a + b
Trójkąty różnoboczne – W takim wypadku wiemy, że długość każdego boku trójkąta jest inna. Nie mamy innego wyjścia jak policzyć ten obwód z wyjściowego wzoru, O = a + b + c

Poza tym, że obwód możemy policzyć przy pomocy wyżej wskazanych wzorów, możemy również użyć tak zwanych zależności w trójkątach. Wyróżniamy dwa takie „specjalne” trójkąty, w których są odpowiednie miary kątów.

Najpierw zajmijmy się trójkątem, którego kąty wynoszą 45°, 45°, 90°. Tak więc, jak widzisz mamy dwa kąty takie same. Co to oznacza? A no oznacza to nic innego jak to, że mamy do czynienia z trójkątem równoramiennym, gdyż kąty przy podstawie mają tę samą miarę. Przykładowy taki trójkąt jest pokazany poniżej.

Wyobraź sobie drugi taki sam trójkąt. Gdybyśmy obydwa trójkąty połączyli ze sobą dłuższym bokiem, otrzymalibyśmy jaką figurę geometryczną? KWADRAT. Jak wiesz, kwadrat ma wszystkie boki tej samej długości, w miara każdego z kąta wewnętrznego to 90°. Przypominasz sobie jak narysować przekątną w kwadracie? Jeśli nie, to spójrz na poniższy obrazek. Ze szkoły podstawowej powinieneś pamiętać pewien wzór, który określał długość przekątnej kwadratu, a więc dłuższego boku trójkąta. Wzór ten wyglądał o tak: , gdzie a jest długością boku kwadratu. Tak więc jak widzisz, przekątna dzieli kwadrat na dwa kwadraty, których miary kątów wynoszą kolejno 45°, 45°, 90°. Tym samym możemy napisać wzór na obwód trójkąta o kątach 45°, 45°, 90°.

t
t
Teraz czas przejść do kolejnego typu trójkąta, którego miary kątów wynoszą kolejno 30°, 60°, 90°. Jeśli chodzi o ten trójkąt, najlepiej po prostu zapamiętać, który bok przy których ma jaką długość. Przejdźmy więc od razu do narysowania takiego trójkąta i wypisania wzoru na obwód trójkąta. Oczywiście pamiętamy, że obwód to suma długości wszystkich boków.

Po przejrzeniu tej grafiki otrzymujemy wniosek, wzór na obwód trójkąta o miarach 30°, 60°, 90° to:
Warto wspomnieć, że pokazany przeze mnie wzór można przekształcić i np. wyciągnąć a przed nawias.

W związku z tym, że znamy już wzory, które pomagają obliczyć nam obwód trójkąta, przejdźmy teraz do zadań praktycznych.

Zadanie 1

Oblicz obwód trójkąta równobocznego, którego bok wynosi 0,5 m. Wynik wyraź w centymetrach.

Rozwiązanie takiego zadania rozpoczynamy od wypisania danych.

a=0,5m=50cm

Następnie podstawiamy do wzoru: O=3a=50cm3=150cm

odp. Obwód tego trójkąta wynosi 150cm.

Zadanie 2

Oblicz obwód jednego z dwóch trójkątów, który powstał po narysowaniu przekątnej kwadratu o boku 5cm.

Na początku wypisujemy dane, a następnie warto narysować rysunek.

a=5cm

Jak zauważamy, mamy do czynienia z trójkątem, którego miary kątów wynoszą 45°, 45°, 90°. W takim razie możemy te zadanie rozwiązać na dwa sposoby.

I sposób

Obliczamy obwód trójkąta ze wzoru: cm

Odp. Obwód tego trójkąta to .

II sposób (bardziej pracochłonny)

Najpierw zauważamy, że przekątna dzieli ten kwadrat na dwa takie same trójkąty. Obliczamy długość tej przekątnej, a później dodajemy do niej długości pozostałych boków.

Odp. Obwód tego trójkąta to .