Opracowanie:
Funkcja kwadratowa
Funkcja kwadratowa
Podane opracowanie zawiera informacje dotyczące funkcji kwadratowej. Znajdziesz tu informację o tym:
W jaki sposób naszkicować wykres funkcji kwadratowej
Odczytać własności funkcji kwadratowej z jej wykres
Wyznaczyć wartość wyróżnika trójmianu kwadratowego
Zapisać funkcję w postaci ogólnej, kanonicznej, iloczynowej
Rozwiązać równanie kwadratowe
Rozwiązać nierówność kwadratową
Zanim rozpoczniemy przypomnijmy, że funkcja kwadratowa to funkcja określona wzorem gdzie to liczba niebędąca zerem a wykres funkcji kwadratowej nazywamy parabolą.
I. SZKICOWANIE WYKRESU FUNKCJI KWADRATOWEJ
Szkicowanie wykresu funkcji kwadratowej sprowadza się do wykonania kilku kroków:
Krok 1: Wybranie argumentów które należą do dziedziny funkcji f(x) oraz określenie wartości funkcji dla zadanych argumentów. Przeważanie ten krok wiąże się również z naszkicowaniem tabeli w której umieszczamy wybrane argumenty oraz wyznaczone wartości funkcji
Krok 2: Naniesienie punktów do układu współrzędnych oraz wykonanie szkicu paraboli
Przykład: Naszkicuj wykres funkcji określonej wzorem:
a)
Krok 1: Wybieramy argumenty i dla nich określamy wartości funkcji np.: :
Dla
Znaleźliśmy zatem punkt który należy do wykresu funkcji
Dla
Znaleźliśmy zatem kolejny punkt, punkt należący do wykresu funkcji
Dla
Dla
Dla
Dla
Dla
Uzyskane dane umieszczamy w tabeli:
Krok 2:Naniesienie punktów do układu współrzędnych oraz naszkicowanie paraboli:
b)
Krok 1:Wybieramy argumenty i dla nich określamy wartości funkcji np.: :
Dla
Znaleźliśmy zatem punkt A(-3,13) który należy do wykresu funkcji
Dla
Znaleźliśmy zatem kolejny punkt, punkt należący do wykresu funkcji
Dla
Dla
Dla
Dla x=2:
Dla
Uzyskane dane umieszczamy w tabeli:
Krok 2:Naniesienie punktów do układu współrzędnych oraz naszkicowanie paraboli:
Ćwiczenie 1: Naszkicuj wykres funkcji:
a)
b)
c)
Rozwiązania (sporządzone wykresy do powyższych podpunktów ćwiczenia 1 powinny wyglądać następująco):
Ad. a)
Ad. b)
Ad. c)
II OKREŚALNIE WŁASNOŚCI FUNKCJI NAPODSTAWIE JEJ WYKRESU
Poniżej znajduje się kilka wykresów funkcji kwadratowej wraz z określonymi własnościami
Przykłady:
a) Wykres funkcji określonej wzorem:
Dziedzina:
Zbiór wartości:
Miejsca zerowe: oraz
Punkty przecięcia z osiami:
Oś OX: oraz
Oś OY:
Wierzchołek:
Monotoniczność:
Funkcja rośnie dla
Funkcja maleje dla
b) Wykres funkcji określonej wzorem
Dziedzina:
Zbiór wartości:
Miejsca zerowe: oraz
Punkty przecięcia z osiami:
Oś OX: oraz
Oś OY:
Wierzchołek:
Monotoniczność:
Funkcja rośnie dla
Funkcja maleje dla
c) Wykres funkcji określonej wzorem:
Dziedzina:
Zbiór wartości:
Miejsca zerowe: oraz
Punkty przecięcia z osiami:
Oś OX: oraz
Oś OY:
Wierzchołek:
Monotoniczność:
Funkcja rośnie dla
Funkcja maleje dla
d) Wykres funkcji określonej wzorem
Dziedzina:
Zbiór wartości:
Miejsca zerowe:
Punkty przecięcia z osiami:
Oś OX:
Oś OY:
Wierzchołek:
Monotoniczność:
Funkcja rośnie dla
Funkcja maleje dla
e) Wykres funkcji określonej wzorem:
Dziedzina:
Zbiór wartości:
Miejsca zerowe: oraz
Punkty przecięcia z osiami:
Oś OX: oraz
Oś OY:
Wierzchołek:
Monotoniczność:
Funkcja rośnie dla
Funkcja maleje dla
III. WYZNACZANIE WARTOŚCI WYRÓŻNIKA TRÓJMAINU KWADRATOWEGO
Wartość wyróżnika trójmianu kwadratowego wyznaczamy korzystając ze wzoru gdzie to współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej zapisanej w postaci ogólnej tzn.
Przykład: Wyznacz wartość wyróżnika trójmianu kwadratowego funkcji gdy jest ona dana wzorem:
a)
b)
c)
d)
=
IV. POSTACIE FUNKCJI KWADRATOWEJ
Funkcje kwadratową możemy zapisać w:
postaci ogólnej:
postaci kanonicznej: gdzie oraz
oraz w przypadku gdy wyznaczony wyróżnik trójmianu kwadratowego jest liczbą większą bądź równą zero w postaci iloczynowej o czym informuje nas poniższa tabela.
liczby oraz (które nazywamy pierwiastkami równania kwadratowego) wyznaczamy z następujących wzorów:
Przykład. Zapisz funkcję
a) w postaci kanonicznej
b) w postaci iloczynowej (jeśli taka postać istnieje)
Ad. a)
Dla podanej funkcji
Wyznaczmy wyróżnik trójmianu kwadratowego:
Czyli funkcja zapisana w postaci kanonicznej przyjmuje postać:
Ad. b)
Wartość wyróżnika trójmianu kwadratowego jest liczbą większą od zera więc postać iloczynowa istnieje i dana jest wzorem:
wyznaczmy liczby oraz :
Przykład: Zapisz funkcję
a) w postaci ogólnej
b) w postaci iloczynowej (jeśli taka postać istnieje).
Ad. a)
Zauważmy, że:
wtedy funkcji f(x) zapisana w postaci ogólnej dana jest wzorem:
Ad. b)
Uwaga: Jeśli zapisaliśmy już funkcję f(x) w postaci ogólnej możemy sprawdzić czy postać iloczynowa funkcji kwadratowej istnieje. Tak samo jak w poprzednim przykładzie wypisujemy współczynniki oraz wyznaczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:
Tym razem jednak zauważmy, że wyróżnik trójmianu kwadratowego jest liczbą ujemną zatem podana funkcja nie posiada postaci iloczynowej.
Przykład:
Zapisz funkcję
a) w postaci ogólnej
b) w postaci kanonicznej
Ad. a)
Zauważmy, że:
wtedy funkcji f(x) zapisana w postaci ogólnej dana jest wzorem:
Ad. b) Jeśli zapisaliśmy już funkcję f(x) w postaci ogólnej możemy zapisać funkcję f(x) w postaci kanonicznej postępując w taki sam sposób jak w poprzednich przykładach:
Uwaga 1: Liczbę możemy wyznaczyć stosując wzór
Uwaga 2: Jeśli > to możemy wyznaczyć stosując wzór:
Uwaga 3: Parabola ma wierzchołek paraboli w punkcie o pierwszej współrzędnej i drugiej współrzędnej tj.
Ćwiczenie: Wyznacz wierzchołek podanej funkcji kwadratowej:
a)
Rozwiązanie:
Wykorzystując wzór skróconego mnożenia
czyli:
b)
Rozwiązanie:
czyli:
c)
Rozwiązanie:
czyli:
d)
Rozwiązanie:
Zauważ, że podana funkcja została podana w postaci kanonicznej
wiec oraz stąd
V. RÓWNANIA KWADRATOWE
Rozwiązanie równania kwadratowego polega na wyznaczeniu wszystkich liczb, które spełniają dane równanie. Równanie kwadratowe może mieć dwa rozwiązania (jeśli: >0), jedno rozwiązanie (jeśli: ) lub może nie posiadać rozwiązań (jeśli : <0).
Poniżej prezentujemy przykłady w których przy rozwiązywaniu rozwiązań równań kwadratowych wykorzystujemy wyróżnik trójmianu kwadratowego.
a)
Podane równanie posiada dwa rozwiązania oraz
b)
Podane równanie posiada jedno rozwiązanie
c)
Podane równanie posiada dwa rozwiązania oraz
d)
Podane równanie posiada dwa rozwiązania x=-24 oraz x=3
e)
Podane równanie nie posiada rozwiązania
VI. NIERÓWNOŚCI KWADRATOWE
Przypomnijmy, że rozwiązywania nierówności kwadratowej sprowadza się do wykonania trzech kroków:
Wszystkie wyrazy przenosimy na lewą stronę nierówności, tak aby po prawej została liczba zero,
Lewą stronę nierówności traktujemy jako wzór funkcji kwadratowej i wyznaczamy miejsca zerowe tej funkcji kwadratowej (o ile istnieją)
Szkicujemy wykres uzyskanej funkcji oraz odczytujemy z wykresu rozwiązanie nierówności.
Matura maj 2021 (źródło: 2021 – CKE):
<
Krok 1: Podaną nierówność sprowadzamy do postaci:
<0 Krok 2: Wyznaczamy wartość pierwiastków:
Krok 3: Zaznaczamy na osi uzyskane pierwiastki oraz wybieramy obszar znajdujący się pod osią
Odpowiedź: Rozwiązaniem podanej nierówności jest przedział
b) > próbna matura marzec 2021 CKE
Krok 1: Przekształcamy nierówność do postaci >0
>
>
>
Krok 2: Wyznaczamy pierwiastki:
Krok 3: Zaznaczamy na osi uzyskane pierwiastki oraz wybieramy obszar znajdujący się nad osią
Formułujemy odpowiedz:
Odpowiedź: Rozwiązaniem podanej nierówności jest przedział
c)
Krok 1:
Krok 2:
Krok 3:
Odpowiedź: Rozwiązaniem podanej nierówności jest przedział
d) >
Krok 1:
>
>0
>0
>0
Krok 2:
Krok 3:
Odpowiedź: Rozwiązaniem podanej nierówności jest przedział: