Wzór na pole trapezu

Wzór na pole trapezu
Wstęp:
W tym wypracowaniu zapoznasz się z podstawowymi informacjami na temat czworokąta i trapezu. Dowiesz się również, czym jest pole trapezu i jak wygląda jego wzór oraz nauczysz się rozpoznawać rodzaje trapezów. Na końcu powtórzysz wiadomości, które za chwilę poznasz w wielu przykładach związanych z tematem, zarówno łatwych, jak i trudnych.

Trapez:
Trapez w matematyce jest określany jako rodzaj wielokąta wypukłego mającego cztery boki, cztery kąty wewnętrzne i cztery wierzchołki, czyli inaczej jeden z czworokątów wypukłych. Spośród innych czworokątów wypukłych wyróżnia się tym, że zawsze posiada co najmniej jedną parę boków równoległych, czyli takich, które leżą naprzeciw siebie. Parę boków równoległych nazywamy podstawami trapezu, natomiast pozostałe dwa boki nazywamy ramionami trapezu. Wysokością trapezu nazywamy odległość pomiędzy jego dwoma podstawami. Obwód trapezu jest sumą długości wszystkich jego krawędzi, czyli sumą długości dwóch podstaw i dwóch ramion tego trapezu:
S = a + b + c + d
W trapezie suma miar kątów wewnętrznych wynosi 360°, a suma miar kątów przy jednym ramieniu wynosi 180°.
Linia środkowa trapezu jest odcinkiem, który łączy środki jego ramion. Jest ona równoległa do obu podstaw trapezu, a jej długość jest równa średniej arytmetycznej długości tych dwóch podstaw:
m = , gdzie a i b to długości jego podstaw.

Szczególne przypadki trapezów:
trapez prostokątny, jest to taki trapez, który ma kąty proste przy jednym lub dwóch ramionach trapezu.
trapez równoramienny, to trapez, w którym obydwa ramiona są równej długości. W trapezie równoramiennym dwa kąty leżące przy jednej podstawie mają takie same miary. Trójkąt równoramienny ma również oś symetrii, która przechodzi przez środki jego podstaw.
trapez równoległoboczny, to taki trapez, w którym dwa ramiona i jedna podstawa mają równe długości.
równoległobok, jest to trapez, który ma dwie pary boków równych równoległych.
romb, jest czworokątem, którego wszystkie boki mają równe długości. Ma on dwie pary boków równoległych.
prostokąt, jest to trapez równoramienny, który jest równocześnie prostokątny. Inaczej jest to czworokąt wypukły, którego wszystkie kąty wewnętrzne są sobie równe i wynoszą 90°. Ma on również dwie pary równych boków równoległych.
kwadrat, jest to szczególny przypadek prostokąta, w którym wszystkie boki są równej długości.

Trapez prostokątny:
Na rysunku obok narysowany jest trapez prostokątny z oznaczeniami. Odcinek AC oznaczony jako d1 jest jego dłuższą przekątną, a odcinek BD oznaczony jako d2 jest krótszą przekątną. Odcinki AB i DE są równej długości i są oznaczone jako h, ponieważ są to wysokości tego trapezu prostokątnego, równocześnie odcinek AB jest jednym z jego boków. Drugie ramię tego trapezu to odcinek CD oznaczony jako c, natomiast pozostałe dwa boki to podstawy tego trapezu, dłuższa podstawa – odcinek BC oznaczony a i krótsza podstawa, którą jest odcinek AD oznaczony jako b. Ostatnim oznaczonym odcinkiem jest odcinek EC oznaczony jako a – b, więc jest to różnica długości podstaw tego trapezu prostokątnego.
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość h i c, ponieważ są to boki trójkąta prostokątnego CDE:
a2 + b2 = c2, podstawiamy długości boków trójkąta CDE;
|DE|2 + |CE|2 =|CD|2
h2 + (a – b)2 = c2, odejmujemy h2;
c2 – h2 = (a – b)2, odejmujemy c2;
– h2 = – c2 + (a – b)2, mnożymy razy – 1;
h2 = c2 – (a – b)2, wyciągamy pierwiastek;
h = √[c2 – (a – b)2]
Teraz korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy również obliczyć dłuższą przekątną tego trapezu, ponieważ jest ona przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego ABC, wtedy:
a2 + b2 = c2, podstawiamy długości boków trójkąta ABC;
|AB|2 + |BC|2 = |AC|2
h2 + a2 = d12, wyciągamy pierwiastek;
d1 = √(h2 + a2), podstawiamy pod h;
d1 = √[c2 – (a – b)2 + a2], podstawiamy wzór skróconego mnożenia: kwadrat różnicy;
d1 = √[c2 – (a2 – 2ab + b2) + a2], pozbywamy się nawiasu;
d1 = √(c2 – a2 + 2ab – b2 + a2), skracamy wyrazy podobne;
d1 = √(c2 + 2ab – b2)
Następnie możemy obliczyć z twierdzenia Pitagorasa krótszą przekątną tego trapezu, ponieważ jest ona przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego ABD, wtedy:
a2 + b2 = c2, podstawiamy długości boków trójkąta ABD;
|AB|2 + |AD|2 = |BD|2
h2 + b2 = d22, wyciągamy pierwiastek;
d2 = √(h2 + b2), podstawiamy pod h;
d2 = √[c2 – (a – b)2 + b2], podstawiamy wzór skróconego mnożenia: kwadrat różnicy;
d2 = √[c2 – (a2 – 2ab + b2) + b2], pozbywamy się nawiasu;
d2 = √(c2 – a2 + 2ab – b2 + b2), skracamy wyrazy podobne;
d2 = √(c2 + 2ab – a2)

Wzór na pole trapezu:
Trapez możemy podzielić na prostokąt do którego może być doklejony jeden lub dwa trójkąty prostokątne. Drugim sposobem jego podziału jest podział na dwa trójkąty. Wzór na pole trójkąta oblicza się mnożąc jego podstawę z wysokością, która na niego opada i dzieląc przez 2:
P = a*h : 2
Na rysunku jest przedstawiony przykładowy trapez. Jako h oznaczona jest jego wysokość, która równocześnie jest wysokością obydwu trójkątów. Jako a i b oznaczone są podstawy trapezu, które są podstawami dwóch trójkątów. Wtedy pole tego trapezu obliczymy dodając pola tych dwóch trójkątów:
P = P1 + P2
P = (a*h : 2) + (b*h : 2)
P = (a + b)*h : 2, właśnie wyprowadziliśmy ogólny wzór na pole trapezu.
Jednak pole trapezu można też obliczyć w inny sposób, czyli:
P = √[(a – b) + c + d]√[(a – b) + c – d]√[(a – b) – c + d]√[-(a – b) + c + d], gdzie a oznacza długość dłuższej podstawy, b to krótsza podstawa, a c i d to długości ramion tego trapezu.

przykład 1
Oblicz pole trapezu, wiedząc że jego podstawy to a i b, a wysokość oznaczamy jako h i mają one długości:
a) a = 5 cm, b = 7 cm, h = 12 cm
b) a = 0,5 cm, b = 0,9 cm, h = 0,1 cm
c) a = 21 cm, b = 4 dm, h = 33 cm
d) a = 3√3, b = 2√3, h = 5√3

a) Mamy podane podstawy trapezu i jego wysokość, więc podstawiamy to do głównego wzoru na jego pole:
P = (a + b)*h : 2
P = (5 + 7)*12 : 2
P = 12*6 cm
P = 72 cm2

b) Mamy podane podstawy trapezu i jego wysokość, więc podstawiamy to do głównego wzoru na jego pole:
P = (a + b)*h : 2
P = (0,5 + 0,9)*0,1 : 2
P = 1,4*0,05 cm
P = 0,07 cm2 = 7 mm2

c) Najpierw zamieniamy cztery decymetry na czterdzieści centymetrów.
Mamy podane podstawy trapezu i jego wysokość, więc podstawiamy to do głównego wzoru na jego pole:
P = (a + b)*h : 2
P = (21 + 40)*33 : 2
P = 61*16,5 cm
P = 1006,5 cm2 = 10,065 dm2

d) Mamy podane podstawy trapezu i jego wysokość, więc podstawiamy to do głównego wzoru na jego pole:
P = (a + b)*h : 2
P = (3√3 + 2√3)*5√3 : 2
P = 5√3*2,5√3
P = 12,5

przykład 2
Oblicz pole trapezu, wiedząc że jego obwód wynosi x, suma długości jego ramion wynosi y, a jego wysokość to z:
a) x = 40, y = 11, z = 7
b) x = 13, y = 4, z = 3
c) x = 29√3, y = 17√3, z = √3
d) x = 23,6, y = 7,2, z = 6

a) Mamy podany obwód trapezu i sumę długości jego ramion, czyli żeby obliczyć sumę długości dwóch podstaw musimy od tego obwodu odjąć sumę jego ramion:
x – y = 40 – 11 = 29
Teraz obliczamy pole trapezu z głównego wzoru:
P = (a + b)*h : 2, podstawiamy dane za wysokość i długości podstaw tego trapezu:
P = 29*7 : 2
P = 203 : 2
P = 101,5

b)Mamy podany obwód trapezu i sumę długości jego ramion, czyli żeby obliczyć sumę długości dwóch podstaw musimy od tego obwodu odjąć sumę jego ramion:
x – y = 13 – 4 = 9
Teraz obliczamy pole trapezu z głównego wzoru:
P = (a + b)*h : 2, podstawiamy dane za wysokość i długości podstaw tego trapezu:
P = 9*3 : 2
P = 27 : 2
P = 13,5

c)Mamy podany obwód trapezu i sumę długości jego ramion, czyli żeby obliczyć sumę długości dwóch podstaw musimy od tego obwodu odjąć sumę jego ramion:
x – y = 29√3 – 17√3 = 12√3
Teraz obliczamy pole trapezu z głównego wzoru:
P = (a + b)*h : 2, podstawiamy dane za wysokość i długości podstaw tego trapezu:
P = 12√3*√3 : 2
P = 12*3 : 2
P = 18

d)Mamy podany obwód trapezu i sumę długości jego ramion, czyli żeby obliczyć sumę długości dwóch podstaw musimy od tego obwodu odjąć sumę jego ramion:
x – y = 23,6 – 7,2 = 16,4
Teraz obliczamy pole trapezu z głównego wzoru:
P = (a + b)*h : 2, podstawiamy dane za wysokość i długości podstaw tego trapezu:
P = 16,4*6 : 2
P = 8,2*3
P = 24,6

przykład 3
Oblicz pole trapezu równoległobocznego – jego obwód to x, a y to jego podstawa, mająca inną długość niż jego ramię, natomiast jego wysokość oznaczona jest jako h:
a) x = 19, y = 1, h = 5
b) x = 41, y = 13, h = 21
c) x = 13,5, y = 1,5, h = 8,5
d) x = 12√2, y = 3√2, h = 3√2

a) Jak wiemy trapez równoległoboczny, to taki, który ma dwa ramiona i jedną podstawę równe. Wynika z tego, że aby obliczyć drugą podstawę musimy najpierw odjąć długość pierwszej podstawy od obwodu:
19 – 1 = 18, a następnie podzielić przez 3;
18 : 3 = 6
Teraz obliczamy pole trapezu ze wzoru:
P = (a + b)*h : 2, podstawiamy dane;
P = (1 + 6)*5 : 2
P = 7*2,5
P = 17,5

b) Aby obliczyć drugą podstawę musimy najpierw odjąć długość pierwszej podstawy od obwodu:
41 – 13 = 28, a następnie podzielić przez 3;
28 : 3 = 9,(3)
Teraz obliczamy pole trapezu ze wzoru:
P = (a + b)*h : 2, podstawiamy dane;
P = [13 + 9,(3)]*21 : 2
P = 22,(3)*10,5
P = 234,5

c) Aby obliczyć drugą podstawę musimy najpierw odjąć długość pierwszej podstawy od obwodu:
13,5 – 1,5 = 12, a następnie podzielić przez 3;
12 : 3 = 4
Teraz obliczamy pole trapezu ze wzoru:
P = (a + b)*h : 2, podstawiamy dane;
P = (4 + 1,5)*8,5 : 2
P = 5,5*8,5 : 2
P = 46,75 : 2
P = 23,375

d) Aby obliczyć drugą podstawę musimy najpierw odjąć długość pierwszej podstawy od obwodu:
12√2 – 3√2 = 9√2, a następnie podzielić przez 3;
9√2 : 3 = 3√2
Teraz obliczamy pole trapezu ze wzoru:
P = (a + b)*h : 2, podstawiamy dane;
P = (3√2 + 3√2)*3√2 : 2
P = 6√2*1,5√2
P = 9√2

przykład 4
Oblicz pole trapezu, wiedząc że jego linia środkowa jest oznaczona jako m i jest 3 razy większa od jego wysokości.
a) m = 15 cm
b) m = 3 cm
c) m = 6√3 cm
d) m = 4,5 dm

a) Wiemy, że linia środkowa trapezu jest średnią arytmetyczną jego podstaw, czyli
m = (a + b) : 2 = 15 cm
Obliczamy wysokość trapezu, która jest trzy razy mniejsza od jego linii środkowej;
h = 15 cm : 3 = 5 cm
Teraz obliczamy pole tego trapezu:
P = (a + b)*h : 2, podstawiamy dane;
P = (15 cm*2)*5 : 2
P = 150 cm : 2
P = 75 cm2

b) Wiemy, że linia środkowa trapezu jest średnią arytmetyczną jego podstaw, czyli
m = (a + b) : 2 = 3 cm
Obliczamy wysokość trapezu, która jest trzy razy mniejsza od jego linii środkowej;
h = 3 cm : 3 = 1 cm
Teraz obliczamy pole tego trapezu:
P = (a + b)*h : 2, podstawiamy dane;
P = (3 cm*2)*1 : 2
P = 6 cm : 2
P = 3 cm2

c) Wiemy, że linia środkowa trapezu jest średnią arytmetyczną jego podstaw, czyli
m = (a + b) : 2 = 6√3 cm
Obliczamy wysokość trapezu, która jest trzy razy mniejsza od jego linii środkowej;
h = 6√3 cm : 3 = 2√3 cm
Teraz obliczamy pole tego trapezu:
P = (a + b)*h : 2, podstawiamy dane;
P = (6√3 cm*2)*2√3 : 2
P = 12√3 cm*√3
P = 36 cm2

d) Najpierw zamieniamy 4,5 dm na 45 cm.
Wiemy, że linia środkowa trapezu jest średnią arytmetyczną jego podstaw, czyli
m = (a + b) : 2 = 45 cm
Obliczamy wysokość trapezu, która jest trzy razy mniejsza od jego linii środkowej;
h = 45 cm : 3 = 15 cm
Teraz obliczamy pole tego trapezu:
P = (a + b)*h : 2, podstawiamy dane;
P = (45 cm*2)*15 : 2
P = 90 cm*7,5
P = 675 cm2

przykład 5
Oblicz pole trapezu równoramiennego opisanego na rysunku, wiedząc że jego wysokość to h, a oznacza jego dolną podstawę, przekątna tego trapezu jest oznaczona jako d, natomiast jako g oznaczona jest wysokość trójkąta BCD.
a) h = 27 a = 55 d = 41 g = 17
b) h = 4 a = 11 d = 7 g = 2
c) h = 5√7 a = 21√7, d = 13√7 g = 7
d) h = 92,9 a = 201,7 d = 163,1 g = 40,3

a) Najpierw musimy obliczyć pole trójkąta ABD ze wzoru:
P = a*h : 2
P = 55*27 : 2
P = 1485 : 2
P = 742,5
Teraz obliczamy pole trójkąta BCD ze wzoru:
P = d*g : 2
P = 41*17 : 2
P = 697 : 2
P = 348,5
Teraz obliczamy pole trapezu dodając pola dwóch trójkątów:
P = 742,5 + 348,5
P = 1091

b) Najpierw musimy obliczyć pole trójkąta ABD ze wzoru:
P = a*h : 2
P = 11*4 : 2
P = 44 : 2
P = 22
Teraz obliczamy pole trójkąta BCD ze wzoru:
P = d*g : 2
P = 7*2 : 2
P = 14 : 2
P = 7
Teraz obliczamy pole trapezu dodając pola dwóch trójkątów:
P = 22 + 7
P = 29

c) Najpierw musimy obliczyć pole trójkąta ABD ze wzoru:
P = a*h : 2
P = 21√7*5√7 : 2
P = 105*7 : 2
P = 735 : 2
P = 367,5
Teraz obliczamy pole trójkąta BCD ze wzoru:
P = d*g : 2
P = 13√7*7 : 2
P = 91√7 : 2
P = 45,5√7
Teraz obliczamy pole trapezu dodając pola dwóch trójkątów:
P = 742,5 + 348,5
P = 1091

d) Najpierw musimy obliczyć pole trójkąta ABD ze wzoru:
P = a*h : 2
P = 201,7*92,9 : 2
P = 18737,93 : 2
P = 9368,965
Teraz obliczamy pole trójkąta BCD ze wzoru:
P = d*g : 2
P = 163,1*40,3 : 2
P = 6572,93 : 2
P = 3286,465
Teraz obliczamy pole trapezu dodając pola dwóch trójkątów:
P = 9368,965 + 3286,465
P = 12655,43

przykład 6
Oblicz pole trapezu, wiedząc że długości jego boków są oznaczone jako a, b, c i d.
a) a = 9, b = 7, c = 5, d = 4
b) a = 21, b = 31, c = 32, d = 3
c) a = 10 b = 4 c = 2,1 d = 7,7

a) Obliczamy pole tego trapezu ze wzoru:
P = √[(a – b) + c + d]√[(a – b) + c – d]√[(a – b) – c + d]√[- (a – b) + c + d], podstawiamy dane;
P = √[(9 – 7) + 5 + 4]√[(9 – 7) + 5 – 4]√[(9 – 7) – 5 + 4]√[- (9 – 7) + 5 + 4]
P = √11*√3*√1*√7
P = 8*√231
P = 2√2311

b) Obliczamy pole tego trapezu ze wzoru:
P = √[(a – b) + c + d]√[(a – b) + c – d]√[(a – b) – c + d]√[- (a – b) + c + d], podstawiamy dane;
P = √[(21 – 31) + 32 + 3]√[(21 – 31) + 32 – 3]√[(21 – 31) – 32 + 3]√[- (21 – 31) + 32 + 3]
P = √25*√19*√39*√45
P = (-5,2)*5*3*√5*√741
P = -1,3*15 + √3705
P = -19,5 + √3705

c) Obliczamy pole tego trapezu ze wzoru:
P = √[(a – b) + c + d]√[(a – b) + c – d]√[(a – b) – c + d]√[- (a – b) + c + d], podstawiamy dane;
P = √[(10 – 4) + 2,1 + 7,7]√[(10 – 4) + 2,1 – 7,7]√[(10 – 4) – 2,1 + 7,7]√[- (10 – 4) + 2,1 + 7,7]
P = √15,8*√0,4*√11,6*√2,8
P = 2*√205,2736
P = 0,58(3)√2311

przykład 7
Oblicz pole trapezu równoramiennego, którego obwód wynosi x, a długości jego podstaw to a i b.
a) x = 91 cm, a = 21 cm, b = 1,4 dm
b) x = 0,7 m, a = 2 dm, b = 16 cm

a) Zamieniamy 1,4 dm na 14 cm.
Aby obliczyć długość ramienia tego trapezu musimy najpierw odjąć od jego obwodu długości podstaw:
x – a – b = 91 – 21 – 14 = 91 – 35 = 56, a następnie podzielić wynik na 2;
56 : 2 = 28
Teraz obliczamy pole tego trapezu ze wzoru:
P = √[(a – b) + c + d]√[(a – b) + c – d]√[(a – b) – c + d]√[- (a – b) + c + d], podstawiamy dane;
P = √[(21 – 14) + 2*28]√[(21 – 14) 28 – 28]√[(21 – 14) – 28 + 28]√[- (21 – 14) + 2*28]
P = √(7 + 56)√(7 + 0)√(7 + 0)√(-7 + 56)
P = *5*3*√7*√7*√7*√49
P = *5*3*2√49*√7
P = *5*42√7
P = 52,5√7

b) Najpierw zamieniamy 0,7 m na 70 cm, a 2 dm na 20 cm.
Aby obliczyć długość ramienia tego trapezu musimy najpierw odjąć od jego obwodu długości podstaw:
x – a – b = 70 – 20 – 16 = 70 – 36 = 34, a następnie podzielić wynik na 2;
34 : 2 = 17
Teraz obliczamy pole tego trapezu ze wzoru:
P = √[(a – b) + c + d]√[(a – b) + c – d]√[(a – b) – c + d]√[- (a – b) + c + d], podstawiamy dane;
P = √[(20 – 16) + 2*17]√[(20 – 16)*17 – 17]√[(20 – 16) – 17 + 17]√[- (20 – 16) + 2*17]
P = √(4 + 34)√(4 + 0)√(4 + 0)√(-4 + 34)
P = 9√38*2*2*√30
P = *9*4√38*√30
P = 9√1140
P = 9*2√285
P = 18√285