Obwód koła

Obwód koła

Wstęp:
W tym opracowaniu przypomnisz sobie podstawowe pojęcia związane z kołem. Dowiesz się co to jest obwód koła oraz w jaki sposób można go obliczyć, a następnie przećwiczysz obliczanie obwodu koła na wielu przykładach, zarówno tych łatwiejszych, jak i trudniejszych.

Koło:
Jest jednym z najstarszych wynalazków ludzkości. Jako obiekt matematyczny określany jest jako zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od środka koła nie jest większa niż długość promienia tego koła.

Obwód, promień, cięciwa i średnica koła:

Obwód koła to zbiór wszystkich punktów (na płaszczyźnie), których odległość od środka koła jest równa promieniowi tego koła.
Promień koła to odcinek poprowadzony od środka tego koła do jego „brzegu” (punktu znajdującego się na obwodzie tego koła). Oznaczany jest literą „r”.
Cięciwa to odcinek łączący 2 dowolne punkty leżące na obwodzie koła. Najdłuższa cięciwa nazywana jest średnicą.
Średnica jest to odcinek łączący 2 (najbardziej oddalone od siebie) punkty leżące na obwodzie koła.
Średnica przechodzi przez środek koła oraz jest dwukrotnie dłuższa od promienia. Oznaczana jest literą „d”. Dla ułatwienia powyższe pojęcia i zależności zostały przedstawione na rysunku obok.

Zależność między obwodem koła a jego średnicą:
Zależność ta była już znana w czasach starożytnych. Odkryto wtedy, że stosunek obwodu koła do jego średnicy jest stały i jednakowy dla każdego koła (niezależnie od jego wielkości). Stosunek ten jest liczbą niewymierną oznaczaną za pomącą greckiej litery pi (π). Powyższą zależność można przedstawić w następujący sposób:

Obwód koła – wzór:
Po przekształceniu powyższej zależności możemy wyprowadzić wzór na obwód koła:

(mnożymy obustronnie razy „d”)
obw = πd = πd
A zatem wzór na obwód koła to iloczyn średnicy i liczby pi: obw = πd
Wiedząc, że średnica jest dwukrotnie dłuższa od promienia (czyli 2 r = d) możemy wyprowadzić drugi wzór na obwód koła, który zamiast „d” we wzorze będzie miał „r”:
obw = πd = π(2r) = 2πr
A zatem wzór na obwód koła to także podwojony iloczyn promienia i liczby pi:
obw = 2πr
Przećwiczmy teraz obliczanie obwodu koła na prostych przykładach poniżej:

Przykład 1:
Oblicz obwód koła, jeśli jego średnica wynosi:
a) 2 cm
b) 4,5 cm
c) 7 cm

a) Mamy podaną długość średnicy koła: 2 cm. Żeby obliczyć obwód tego koła korzystamy z poznanego wyżej wzoru (podkładając za „d” 2 cm):
Obw = πd = π 2 cm = 2π cm (Zawsze pamiętamy o odpowiedniej jednostce na końcu wyniku)
A zatem obwód tego koła jest równy 2π cm.

(Taki wynik uznaje się za ostateczny, gdyż liczba pi jest liczbą niewymierną, czyli nie da się jej „ładnie” rozpisać. Możemy jednak podać przybliżoną wartość pi ( 3,14) i wtedy obliczyć przybliżoną wartość obwodu koła. Robimy to jednak tylko wtedy, gdy jasno mówi nam o tym polecenie np. gdyby pisało jeszcze „przyjmij, że π 3,14″ to obwód wynosiłoby wtedy: obw = π d 3,14 2cm = 6,28 cm)

b) Mamy daną długość średnicy koła: 4,5 cm. Korzystamy z poznanego wzoru (podkładając za „d” 4,5 cm):
Obw = πd = π 4,5 cm = 4,5π cm
A zatem obwód tego koła jest równy 4,5π cm.

c) Mamy podaną długość średnicy: cm. Korzystamy ze wzoru na obwód koła (podkładając za „d” cm):
Obw = πd = π cm = cm
A zatem obwód tego koła jest równy cm.

Przykład 2:
Oblicz obwód koła, jeśli jego promień wynosi:
a) 5 cm
b) 3,25 cm
c) 9 cm

a) Mamy podaną długość promienia koła: 5 cm. Żeby obliczyć obwód tego koła korzystamy z poznanego wzoru – obw = 2πr – podkładając za „r” 5 cm):
Obw = 2πr = 2 π 5 cm = 10π cm
A zatem obwód tego koła jest równy 10π cm.

b) Mamy daną długość promienia koła: 3,25 cm. Korzystamy z poznanego wzoru (podkładając za „r” 3,25 cm):
Obw = 2πr = 2 π 3,25 cm = 6,5π cm
A zatem obwód tego koła jest równy 6,5π cm.

c) Mamy podaną długość promienia: cm. Korzystamy ze wzoru na obwód koła (podkładając za „r” cm):
Obw = 2πr = 2 π cm = π cm
A zatem obwód tego koła jest równy cm.

Przykład 3:
Oblicz promień oraz średnicę koła, jeśli jego obwód wynosi:
a) 8π cm
b) 16 π cm
c) 4 cm

a) Mamy podany obwód koła, który wynosi 8π cm. Znamy także wzór na obwód koła, który ma postać: obw = πd. Przekształcając ten wzór (dzieląc obustronnie przez π) otrzymamy wzór na średnicę koła: . Wyprowadziwszy wzór możemy teraz bez problemu obliczyć średnicę:
d = = = = 8 cm
Jak znamy już średnicę to teraz możemy obliczyć promień, ponieważ promień jest dwukrotnie mniejszy od średnicy (czyli 2r = d):
2r = d (za „d” podkładamy obliczone wyżej 8 cm)
2r = 8 cm (dzielimy obustronnie przez 2)
r = 4 cm (czyli nasz promień ma długość równą 4 cm)
Odp: W podanym kole średnica ma długość 8 cm, a promień 4 cm.

b) Mamy podany obwód koła, który wynosi π cm. Korzystając z wyprowadzonego w podpunkcie a) wzoru ( ) obliczamy średnicę tego koła:
d = = = =
Poznawszy już średnicę możemy obliczyć promień (2r = d):
2r = d (za „d” podkładamy obliczone wyżej cm)
2r = cm (dzielimy obustronnie przez 2)
r = cm (czyli nasz promień ma długość równą cm)
Odp: W podanym kole średnica ma długość cm, a promień cm.

c) Podany obwód koła wynosi 4 cm. Korzystamy ze wzoru (wyprowadzonego w podpunkcie a)) i obliczamy średnicę tego koła:
d = = = cm
Znając już średnicę możemy obliczyć promień (2r = d):
2r = d (za „d” podkładamy obliczone wyżej cm)
2r = cm (dzielimy obustronnie przez 2)
r = cm : 2 = () cm = cm = cm (czyli nasz promień ma długość równą cm)
Odp: W podanym kole średnica ma długość cm, a promień cm.

Przykład 4:
W pewnym kole środek cięciwy AB oddalony jest od środka koła o 3 cm. Cięciwa ta ma długość równą 8 cm. Oblicz obwód tego koła.

Aby lepiej zobrazować sobie powyższą sytuację oraz aby dostrzec pewne zależności wykonujemy rysunek pomocniczy:

Gdzie:
„S” to środek cięciwy AB
„O” to środek koła
Czerwony odcinek to cięciwa AB
Niebieski odcinek to odległość (środka) cięciwy od środka okręgu
Skoro „S” jest środkiem cięciwy AB to punkt ten dzieli tę cięciwę na dwa odcinki równej długości po 4 cm każdy (8 cm : 2 = 4 cm). „Zaktualizujmy” teraz nasz rysunek dorysowując wewnątrz koła promień „r”, tak aby jeden z jego końców „stykał się” z końcem cięciwy AB:

Po dorysowaniu w odpowiednim miejscu promienia możemy dostrzec trójkąt (SOB), który jest trójkątem prostokątnym. Przyprostokątne tego trójkąta mają długości 3 cm oraz 4 cm. Natomiast przeciwprostokątna tego trójkąta jest równocześnie promieniem koła. Aby obliczyć długość przeciwprostokątnej trójkąta SOB (tym samym długość promienia koła „r”) korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:
(3 cm)2 + (4 cm)2 = r2
(Zał. r > 0, gdyż „r” wyraża długość, a ona nie może być ujemna)
Po ustalonych założeniach oraz ułożeniu odpowiedniego równania przystępujemy do jego rozwiązywania:

(3 cm)2 + (4 cm)2 = r2 (wykonujemy potęgowanie po lewej stronie równania)
9 cm2 + 16 cm2 = r2 (dodajemy wartości po lewej stronie)
25 cm2 = r2 (zapisujemy rozwiązania, pamiętając o wykluczeniu tych, które są sprzeczne z założeniami)
r = 5 r = (-5)
Ale r = (-5) odrzucamy, gdyż jest sprzeczne z założeniem r > 0.
W takim razie promień naszego koła wynosi 5 cm. Teraz mając podany promień możemy wreszcie policzyć obwód koła:
Obw = 2πr = = 2 π 5 cm = 10π cm
A zatem obwód naszego koła wynosi 10π cm.

Przykład 5:
W pewnym kole średnica jest o 3 cm dłuższa od promienia. Oblicz obwód tego koła.

Wiemy, że w podanym kole średnica jest o 3 cm dłuższa od promienia, czyli: r + 3 cm = d. Wiemy także, że w każdym kole średnica jest dwa razy dłuższa od promienia, czyli: 2r = d. Skoro d = r + 3 cm i równocześnie d = 2r to także (po „połączeniu” obu tych równań):
r + 3 cm = 2r. Powstało nam proste równanie z jedną niewiadomą. Przystępujemy do jego rozwiązywania:
r + 3 cm = 2r (odejmujemy obustronnie „r”)
3 cm = 2r – r
3 cm = r
r = 3 cm
Mając już policzony promień możemy się zabrać za obliczenie obwodu koła:
Obw = 2πr = 2 π 3 cm = 6π cm
A zatem obwód naszego koła wynosi 6π cm.

Przykład 6:
Pewien trójkąt prostokątny wpisano w koło. Suma długości przyprostokątnych tego trójkąta wynosi 31 cm, z czego jedna przyprostokątna jest o 17 cm dłuższa od drugiej. Oblicz obwód koła wiedząc, że przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego zawiera się całkowicie w średnicy tego koła.

Aby lepiej zobrazować sobie powyższą sytuację wykonujemy rysunek pomocniczy:

Gdzie:
„O” to środek koła
Czerwony odcinek to przeciwprostokątna trójkąta ABC (średnica koła „d”)
Niebieski odcinek to dłuższa przyprostokątna (a „x + 17 cm” to jej długość)
Zielony odcinek to krótsza przyprostokątna (a „x cm” to jej długość)
Suma długości przyprostokątnych tego trójkąta wynosi 31 cm, co możemy zapisać za pomocą równania:
(x + 17) cm + x cm = 31 cm. Rozwiązując te równanie poznamy długości przyprostokątnych trójkąta:

(x + 17 cm) + x = 31 cm (upraszczamy lewą stronę równania)
x + 17 cm + x = 31 cm
2x + 17 cm = 31 cm (odejmujemy obustronnie 17)
2x = 14 cm (dzielimy obustronnie przez 2)
x = 7 cm
A zatem krótsza przyprostokątna ma długość 7 cm, a dłuższa ma 24 cm długości (bo jest o 17 cm dłuższa, czyli 7 + 17 = 24 cm). Znając długości przyprostokątnych trójkąta możemy policzyć długość jego przeciwprostokątnej korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
(7 cm)2 + (24 cm)2 = d2 (wykonujemy potęgowanie po lewej stronie równania)
49 cm2 + 576 cm2 = d2 (dodajemy wartości po lewej stronie)
625 cm2 = d2 (Zarówno liczba 25 jak i liczba (-25) podniesione do kwadratu dadzą nam 625, ale wynik d = (-25) musimy odrzucić, gdyż „d” wyraża długość, czyli nie może być ujemne (Zał. d > 0))

A zatem d = 25 cm i jest to nie tylko długość przeciwprostokątnej, ale także średnicy koła. Mając podaną średnicę koła możemy teraz bez problemu obliczyć jego obwód:
Obw = πd = π 25 cm = 25π cm
A zatem obwód naszego koła wynosi 25π cm.

Przykład 7:
Na kwadracie o boku 11 cm opisano koło. Oblicz obwód tego koła.

Aby lepiej zobrazować sobie powyższą sytuację oraz aby dostrzec pewne zależności wykonujemy rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że średnica naszego koła jest równocześnie przekątną kwadratu wpisanego w te koło. A przekątną możemy policzyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
(11 cm)2 + (11 cm)2 = d2 (wykonujemy potęgowanie po lewej stronie równania)
121 cm2 + 121 cm2 = d2 (dodajemy wartości po lewej stronie)
242 cm2 = d2 (Zał. d > 0, gdyż „d” wyraża długość, czyli nie może być ujemne)
d = = (i jest to długość zarówno przekątnej kwadratu jak i średnicy koła)
Mając podaną długość średnicy koła możemy teraz obliczyć jego obwód:
Obw = πd = π = cm
A zatem obwód naszego koła wynosi cm.

Przykład 8:
W kwadrat o boku 13 cm wpisano koło. Oblicz obwód tego koła.

Dla lepszego zobrazowania sobie powyższej sytuacji wykonajmy rysunek pomocniczy:

(Średnica na rysunku ma kolor czerwony)
Teraz łatwo można dostrzec, że średnica koła wpisanego w kwadrat jest równa długości boku tego kwadratu. A skoro nasz kwadrat ma bok długości 13 cm to średnica koła wpisanego w ten kwadrat również ma długość 13 cm (d = 13 cm). Mamy już wszystko, aby policzyć obwód koła:
Obw = πd = π 13 cm = 13π cm
A zatem obwód naszego koła wynosi 13π cm.

Przykład 9:
W koło wpisano sześciokąt foremny o boku długości 6 cm. Oblicz obwód tego koła, wiedząc że najdłuższa przekątna sześciokąta foremnego jest dwa razy dłuższa od długości jego boku.

Dla lepszego zobrazowania sobie opisanej sytuacji wykonajmy rysunek pomocniczy:

Kolorem czerwonym zaznaczono na rysunku najdłuższą przekątną sześciokąta foremnego. Z polecenia wynika, że jest ona dwa razy dłuższa od boku sześciokąta, czyli ma długość równą: 2 6 cm = 12 cm. Ponadto z rysunku można łatwo dostrzec, że najdłuższa przekątna sześciokąta foremnego jest zarazem średnicą koła opisanego na tym sześciokącie, czyli
d = 12 cm. Mając podaną średnicę możemy obliczyć obwód koła:
Obw = πd = π 12 cm = 12π cm
A zatem obwód naszego koła wynosi 12π cm.

Podsumowanie:
Z tego opracowania przypomniałeś sobie podstawowe pojęcia związane z kołem. Dowiedziałeś się co to jest obwód koła oraz w jaki sposób można go obliczyć. Przećwiczyłeś także obliczanie obwodu koła na wielu przykładach.