Logarytmy

Logarytmy

Wstęp:
W tym opracowaniu dowiesz się co to jest logarytm oraz jakie są jego własności. Poznasz m.in. wzór na zamianę podstawy logarytmu, a także utrwalisz sobie poznane pojęcia analizując kilka przykładów.

Logarytm:
Każdy z nas umie wykonywać proste działania polegające na podniesieniu jakiejś liczby do określonej potęgi, by na tej podstawie otrzymać wynik np. wiemy, że skoro 24 = x to x = 16. Ale co jeśli zdarzy się tak, że będziemy mieli podaną podstawę potęgi i wynik potęgowania, ale nie będziemy mieli podanego wykładnika potęgi np. 2x = 16. Wtedy z pomocą przychodzi nam logarytm, który definiowany jest jako wykładnik potęgi, do której należy podnieść podstawę (potęgi), aby otrzymać określoną wartość.
Jeśli „a” jest podstawą potęgi, „b” jest wynikiem potęgowania, a „x” jest szukanym wykładnikiem potęgi (czyli gdy ax = b) to nasz logarytm zapiszemy w następujący sposób: loga b = x, gdzie „a” to podstawa logarytmu, „b” to liczba logarytmowana, a „x” to wartość logarytmu/wynik logarytmowania (lub po prostu logarytm).

Zapis postaci loga b = x czytamy jako: logarytm liczby „b” przy podstawie „a” wynosi „x” (wykonując działania na logarytmach potrzebne nam są pewne założenia: „a” > 0 oraz „b” > 0, a także „a” ≠ 1).
Przykładowo: załóżmy że mamy obliczyć wartość logarytmu postaci log5 25. Zadajemy sobie wtedy pytanie: „Do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 5, aby otrzymać 25?” (5x = 25). Jest to oczywiście liczba 2, ponieważ 52 = 25. A zatem logarytmem liczby 25 przy podstawie 5 jest liczba 2, co zapisujemy: log5 25 = 2.
Aby utrwalić sobie poznane dotąd informacje dotyczące logarytmów przeanalizujmy poniższe przykłady.

Przykład 1:
Oblicz, a następnie sprawdź wynik za pomocą potęgowania:
a) log2 8
b) log2 2
c) log3 81
d) log6 216
e) log2
f) log32 1
g) log2
h) log4
i) log2
j) log2
k) log
l) log9 3

a) Musimy policzyć ile wynosi logarytm liczby 8 przy podstawie 2, czyli jaka jest wartość log2 8. Zadajemy sobie pytanie: „Do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 2, aby otrzymać 8?” (2x = 8). Jest to oczywiście liczba 3, a zatem logarytmem liczby 8 przy podstawie 2 jest liczba 3, czyli log2 8 = 3.
(Sprawdzenie: 23 = 8)

b) Musimy obliczyć logarytm liczby 2 przy podstawie 2, czyli jaka jest wartość log2 2. Zadajemy sobie pytanie: „Do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 2, aby otrzymać 2?” (2x = 2). Jest to liczba 1 (bo a1 = a), a zatem logarytmem liczby 2 przy podstawie 2 jest liczba 1, co zapisujemy log2 2 = 1.
(Sprawdzenie: 21 = 2)
(Przy okazji poznaliśmy jedną z własności logarytmów, a mianowicie że loga a = 1 (zał. „a” > 0 oraz „a” ≠ 1))

c) Obliczamy logarytm liczby 81 przy podstawie 3, czyli log3 81. Zadajemy sobie pytanie: „Do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 3, aby otrzymać 81?” (3x = 81). Jest to oczywiście liczba 4, a zatem log3 81 = 4.
(Sprawdzenie: 34 = 81)

d) Obliczamy logarytm liczby 216 przy podstawie 6, czyli log6 216. Zadajemy sobie pytanie: „Do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 6, aby otrzymać 216?” (6x = 216). Jest to liczba 3, a zatem log6 216 = 3.
(Sprawdzenie: 63 = 216)

e) Mamy obliczyć logarytm liczby przy podstawie 2, czyli log2 . Zadajemy sobie pytanie: „Do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 2, aby otrzymać ?” (2x = ). Jest to liczba (-1) (ponieważ a-1 = ), a zatem log2 = (-1)
(Sprawdzenie: 2-1 = )

f) Musimy policzyć logarytm liczby 1 przy podstawie 32, czyli log32 1. Zadajemy sobie pytanie: „Do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 32, aby otrzymać 1?” (32x = 1). Jest to liczba 0 (bo a0 = 1), a zatem logarytmem liczby 1 przy podstawie 32 jest liczba 0, co zapisujemy log32 1 = 0.
(Sprawdzenie: 320 = 1)
(Przy okazji poznaliśmy kolejną własność logarytmów, a mianowicie że loga 1 = 0 (zał. „a” > 0 oraz „a” ≠ 1))

g) Liczymy logarytm liczby przy podstawie 2, czyli log2 . Zadajemy sobie pytanie: „Do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 2, aby otrzymać ?” (2x = ). Ponadto wiemy, że 24 = 16 oraz, że 2-1 = , czyli logarytmem liczby przy podstawie 2 jest liczba (-4), co zapisujemy log2 = (-4).
(Sprawdzenie: 2-4 = (2-1)4 = ()4 = )

h) Obliczamy logarytm liczby przy podstawie 4, czyli log4 . Zadajemy sobie pytanie: „Do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 4, aby otrzymać ?” (4x = ). Wiemy przecież, że 43 = 64 oraz, że 4-1 = , czyli logarytmem liczby przy podstawie 4 jest liczba (-3), co zapisujemy log4 = (-3).
(Sprawdzenie: 4-3 = (4-1)3 = ()4 = )

i) Musimy policzyć logarytm liczby przy podstawie 2, czyli log2 . Zadajemy sobie pytanie: „Do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 2, aby otrzymać ?” (2x = ). Jest to liczba (ponieważ a = ), a zatem log2 = .
(Sprawdzenie: 2 = )

j) Musimy obliczyć logarytm liczby przy podstawie 2, czyli log2 . Zadajemy sobie pytanie: „Do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 2, aby otrzymać ?” (2x = ). Wiemy przecież, że 23 = 8 oraz, że 2 = , czyli logarytmem liczby przy podstawie 2 jest liczba , co zapisujemy log2 = .
(Sprawdzenie: 2 = = 8 = )

k) Mamy obliczyć logarytm liczby przy podstawie , czyli log . Zadajemy sobie pytanie: „Do jakiej potęgi należy podnieść liczbę , aby otrzymać ?” (x = ). Jest to liczba 3, a zatem logarytmem liczby przy podstawie jest liczba 3, czyli log = 3.
(Sprawdzenie: 3 = )

l) Liczymy logarytm liczby 3 przy podstawie 9, czyli log9 3. Zadajemy sobie pytanie: „Do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 9, aby otrzymać 3?” (9x = 3). Ponadto wiemy, że = 3, a zatem logarytmem liczby 3 przy podstawie 9 jest liczba , czyli log9 3 = .
(Sprawdzenie: 9 = = 3)

Własności logarytmów:
Poniżej przedstawione zostały przydatne własności logarytmów:

1) loga ax = x.
Jest to dosyć logiczne, gdyż chcąc policzyć ile wynosi „loga ax ” zadalibyśmy sobie pytanie: do jakiej potęgi należy podnieść liczbę „a”, aby otrzymać „ax „? Szukanym wykładnikiem potęgi jest oczywiście „x”, bo ax = ax , stąd loga ax = x, co wydaje się dosyć proste i intuicyjne.
Przykładowo mamy policzyć wartość: log21 2145. Korzystając z poznanej własności (loga ax = x) od razu wiemy, że logarytmem liczby 2145 przy podstawie 21 jest liczba 45, co zapisujemy: log21 2145 = 45.

2) .
Mimo, że własność ta może wydawać się bardziej rozbudowana niż powyższa, to jest równie intuicyjna. Załóżmy że mamy policzyć ile wynosi . Niech loga b = x, gdzie „x” to dowolna liczba rzeczywista (spełniająca tą równość). Skoro loga b = x to tym samym ax = b, wtedy = ax = b.
Przykładowo mamy policzyć wartość . Korzystając z poznanej własności wiemy, że wynikiem takiego wyrażenia będzie liczba 3, czyli = 3 (bo, gdy log2 3 = x to 2x = 3, czyli ).

3) loga x + loga y = loga (x y) (tzw. logarytm iloczynu).
Udowodnienie prawdziwości tej własności: załóżmy, że loga x = k oraz loga y = m. Wtedy ak = x oraz am = y. Wówczas loga x + loga y = k + m oraz loga (x y) = loga (ak am) = loga (ak+m) = k + m, czyli strona prawa równa się lewej, a zatem wszystko się zgadza.
Przykładowo mamy policzyć wartość: log6 4 + log6 9. Korzystając z poznanej własności obliczamy wartość wyrażenia: log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2. (Oczywiście własność ta działa tylko wtedy, gdy podstawy logarytmów są takie same).

4) loga x – loga y = loga (x : y) (tzw. logarytm ilorazu).
Udowodnienie własności: załóżmy, że loga x = k oraz loga y = m. Wtedy ak = x oraz am = y. Wówczas loga x – loga y = k – m oraz loga (x : y) = loga (ak : am) = loga (ak-m) = k – m, czyli strona prawa równa się lewej, a zatem wszystko się zgadza.
Przykładowo mamy policzyć wartość: log5 50 – log5 2. Korzystając z poznanej własności obliczamy wartość wyrażenia: log5 50 – log5 2 = log5 (50 : 2) = log5 25 = 2. (Własność ta również działa tylko wtedy, gdy podstawy logarytmów są takie same).

5) loga bx = x loga b (tzw. logarytm potęgi).
Przykładowo mamy policzyć wartość: log3 81. Korzystając z poznanej własności przykład ten możemy rozpisać w następujący sposób: log3 81 = log3 34 = 4 log3 3 = 4 1 = 4.

6) = loga b.
Przykładowo mamy policzyć wartość: . Korzystając z poznanej własności przykład ten możemy rozpisać w następujący sposób: = = = (-1).

(Wszystkie powyższe własności spełniają oczywiście założenia: „a” > 0 oraz „b” > 0, a także „a” ≠ 1)
Aby utrwalić sobie poznane własności przeanalizujmy poniższe przykłady.

Przykład 2:
Oblicz:
a) log5 512
b)
c) log16 8 + log16 2,5 + log16 2 + log16 6,4
d) log15 450 – log15 2
e) + 4
f) (log11 11 + log22 22)

a) Musimy policzyć ile wynosi logarytm liczby 512 przy podstawie 5, czyli jaka jest wartość log5 512. Zadajemy sobie pytanie: „Do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 5, aby otrzymać 512?” (5x = 512). Jest to liczba 12, a zatem log5 512 = 12.
Możemy też skorzystać z poznanej własności, a konkretnie: loga ax = x. Wtedy od razu widać, że log5 512 = 12.

b) Nie rozpisując się zbytnio korzystamy z własności: i na tej podstawie obliczamy nasz przykład: . A zatem rozwiązaniem tego wyrażenia jest liczba 17.

c) Musimy obliczyć wartość wyrażenia log16 8 + log16 2,5 + log16 2 + log16 6,4. W tym celu korzystamy z własności: loga x + loga y = loga (x y), czyli korzystamy z logarytmu iloczynu:
log16 8 + log16 2,5 + log16 2 + log16 6,4 = log16 (8 2,5) + log16 (2 6,4) = log16 20 + log16 12,8 = log16 (20 12,8) = log16 256 = 2.
(lub wszystkie liczby logarytmowane mnożymy ze sobą za jednym razem, czyli: log16 8 + log16 2,5 + log16 2 + log16 6,4 = log16 (8 2,5 2 6,4)= log16 256 = 2). A zatem wynikiem dodawania log16 8 + log16 2,5 + log16 2 + log16 6,4 jest liczba 2.

d) Mamy podane wyrażenie log15 450 – log15 2. Aby obliczyć jego wartość korzystamy z własności: loga x – loga y = loga (x : y), czyli korzystamy z logarytmu ilorazu:
log15 450 – log15 2 = log15 (450 : 2) = log15 225 = 2.

e) Mamy podane wyrażenie . Aby obliczyć jego wartość korzystamy z własności: = loga b, czyli eliminujemy wykładniki potęg w podstawach logarytmów i przepisujemy je przed znak logarytmu:
= = = = = = = 2.

f) Rozwiązujemy wyrażenie: (log11 11 + log22 22). Aby tego dokonać upraszczamy najpierw to co mamy podane w nawiasie, czyli: = = . Teraz korzystamy z własności , czyli: . A zatem rozwiązaniem wyrażenia (log11 11 + log22 22) jest liczba 3.

Zamiana podstawy logarytmu:
Przydatną umiejętnością jest także zamiana podstawy logarytmu. Zamiana podstawy logarytmu odbywa się wg wzoru: logb x = (gdzie a, b, x > 0 oraz a ≠ 1 i b ≠ 1).
Przykładowo załóżmy, że mamy podany logarytm: log4 10 i chcemy zamienić jego podstawę na 2. Korzystamy z poznanego wyżej wzoru tzn. logb x = (i za „a” podkładamy 2):
log4 10 = = = = = . Czyli po zamianie podstawy logarytmu log4 10 (z 4 na 2) otrzymujemy log2 .
Przećwiczmy zamienianie podstawy logarytmu na poniższych przykładach.

Przykład 3
Przedstaw podany logarytm jako logarytm z podstawą „x”:
a) log3 5 , x = 9
b) log49 2 , x = 7
c) log 12 , x = 6

a) Mamy podany logarytm: log3 5 i chcemy zamienić jego podstawę na 9. Korzystamy z poznanego wzoru: logb x = i za „a” podkładamy 9:
log3 5 = = = = = .

b) Podany mamy logarytm: log49 2 i chcemy zamienić jego podstawę na 7. Korzystamy ze wzoru: logb x = i za „a” podkładamy 7:
log49 2 = = = = = .

c) Mamy logarytm: log 12 i chcemy zamienić jego podstawę na 6. Korzystamy ze wzoru: logb x = i za „a” podkładamy 6:
log 12 = = = = = .

Podsumowanie:
Z tego opracowania dowiedziałeś się co to jest logarytm. Poznałeś wiele własności logarytmów (takich jak np. logarytm iloczynu, czy też logarytm ilorazu) oraz przećwiczyłeś je na wielu przykładach. Nauczyłeś się także zamieniać podstawę logarytmu, co również utrwaliłeś sobie na kilku przykładach.