Wzory trygonometryczne

1.Wzory redukcyjne funkcji trygonometrycznych.

Najpierw rozpatrzmy wzory funkcji trygonometrycznych kątów ostrych w poniższym trójkącie prostokątnym.

Wyróżniamy cztery podstawowe funkcje trygonometryczne:

Sinus jest stosunkiem długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko danego kąta ostrego do długości przeciwprostokątnej w tym trójkącie. Stosunek rozumiemy jako znak dzielenia. Aby więc obliczyć sinus, musimy podzielić długość przyprostokątnej leżącej naprzeciwko przez długość przeciwprostokątnej. Używając oznaczeń z powyższego trójkąta, otrzymujemy że:

oraz

Cosinus jest natomiast stosunkiem długości przyprostokątnej leżącej przy danym kącie ostrym do długości przeciwprostokątnej w tym trójkącie. Z podanymi oznaczeniami mamy więc:

oraz

Z kolei tangensem nazwiemy stosunek (iloraz) długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw danego kąta do długości przyprostokątnej leżącej przy nim, czyli:

oraz

Ostatnią z funkcji jest cotangens. Jest on odwrotnością funkcji tangens, czyli stosunkiem długości przyprostokątnej leżącej obok do tej leżącej naprzeciwko:

oraz

Sprawdźmy powyższe wzory, aby obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych kątów w trójkącie, jeśli , i

oraz

oraz

oraz

oraz

Zauważmy, że , , i .

Jak wiemy suma kątów wewnętrznych w każdym trójkącie, również prostokątnym, jest równa . W trójkącie prostokątnym jeden z kątów zawsze ma miarę , czyli że suma pozostałych kątów będzie równa:

Po wyliczeniu z tego miary jednego kąta otrzymujemy, że . Podstawiając do powyższych wzorów otrzymujemy, że:

Te wzory redukcyjne stosujemy w przypadku kątów z pierwszej ćwiartki. Wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych są w niej dodatnie. W przypadku odejmowania kąta od 90° funkcję zmieniamy na cofunkcję, czyli

oraz

Przykłady:

, a więc

Przyjrzyjmy się teraz wzorom redukcyjnym dla drugiej ćwiartki w układzie współrzędnym.

Przy wzorach redukcyjnych z 90° ponownie stosujemy cofunkcję, natomiast z 180° – nie. Musimy również zwrócić uwagę na fakt, że w drugiej ćwiartce jedynie sinus jest dodatni. Przed pozostałymi funkcjami nie możemy więc zapomnieć o znaku minus. Mamy więc:

Przykłady:

lub

lub

lub

lub

Teraz przyjrzyjmy się wzorom redukcyjnym kątom z trzeciej ćwiartki układu współrzędnych.
Ponownie w przypadku wzorów z 180° nie zmieniamy funkcji na cofunkcję, ale już przy wzorach z 270° – tak. Tu ponownie musimy pamiętać o znaku minus przed funkcjami ujemnymi w trzeciej ćwiartce, czyli funkcją sinus i cosinus. Mamy więc:

Przykładowo:

lub

lub

lub

lub

Zostały nam jeszcze wzory redukcyjne z ostatniej czwartej ćwiartki.

Przy wzorach z 270° stosujemy cofunkcję, natomiast przy 360° – nie. w czwartej ćwiartce jedynie cosinus jest dodatni, więc przed pozostałymi funkcjami musimy postawić znak minus. Otrzymamy zatem:

Zobaczmy przykłady:

lub

lub

lub

lub

Podsumowując, zmianę na cofunkcję stosujemy tylko i wyłącznie w przypadku wzorów z 90° i 270°.

2.Wzory na okresowość funkcji.

Wszystkie funkcje trygonometryczne są funkcjami okresowymi, czyli że każda z nich ma tzw. okres podstawowy. Przykładowo, okresem podstawowym funkcji sinus jest (360°). To znaczy, że:

,

gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą. W przypadku funkcji cosinus mamy tak samo:

Okres podstawowy funkcji tangens i cotangens wynosi natomiast (180°). Analogiczne wzory dla tych funkcji wyglądają więc:

Zawsze przy podawaniu okresowości musimy dodawać: gdzie (k należy do liczb całkowitych). Należy też pamiętać, że , bądź w przypadku funkcji tangens i cotangens musi należeć do dziedziny danej funkcji, czyli że dla funkcji tangens ≠ (90°, 270°), a w przypadku funkcji cotangens ≠ (0°, 180°).

Sprawdźmy wzory na przykładach:

3.Wzory trygonometryczne z tożsamości.

Dla mamy poniższy wzór na funkcję tangens:

Dla mamy natomiast wzór na funkcję cotangens:

Z „małej jedynki trygonometrycznej” () możemy ustalić także inne wzory na te funkcje:

oraz

Ich dziedziną jest .

4.Wzory na sinus sumy i różnicy kątów.

Wzór na sinus sumy dowolnych kątów i :

Przykładowo:

Wzór na sinus różnicy kątów (taki sam jak powyższy, tylko że ze znakiem minus):

Przykładowo:

5.Wzory na cosinus sumy i różnicy kątów.

Wzór na cosinus sumy dowolnych kątów:

Przykładowo:

Wzór na cosinus różnicy dwóch kątów:

Przykładowo:

Zwróćmy uwagę, że we wzorze na cosinus sumy mamy znak minus, a we wzorze cosinus różnicy – znak plus.

6.Wzory na tangens sumy i różnicy kątów.

Wzór na tangens sumy dwóch kątów i , należących do dziedziny:

Przykładowo:

Wzór na tangens różnicy kątów (należących do dziedziny):

Przykładowo:

7.Wzory na funkcje trygonometryczne kąta podwojonego.

Sinus kąta podwojonego:

Przykładowo:

Cosinus kąta podwojonego:

Przykładowo:

Za pomocą drugiego wzoru możemy obliczyć :

/

/

Sinus 15° jest liczbą dodatnią, więc:

Tangens kąta podwojonego:



W przypadku funkcji tangens musimy pamiętać o założeniach: ≠ (ze względu na sam tangens) oraz ≠ (ze względu na mianownik)

Z tej drugiej nierówności wyliczamy:

≠ /

≠ ≠

≠ ≠

Trzy powyższe nierówności możemy zmieścić w dwóch, które będą założeniem:

≠ ≠

Przykładowo:

Cotangens kąta podwojonego:

Tu również musimy pamiętać o założeniach:

Ze względu na cotangens ≠ oraz ze względu na mianownik:

≠

≠

Możemy je razem ująć w zapisie:

≠

Przykładowo:

Jeśli chcemy obliczyć , wystarczy nam znajomość powyższego wzoru oraz wartości .

/

Niech > (tym sposobem stworzymy równanie kwadratowe)

< sprzeczne z założeniem k >

Odpowiedzią jest więc, że

8.Wzory dla kątów ujemnych.

W przypadku kątów ujemnych, również mamy poniższe wzory redukcyjne:

W przypadku funkcji cosinus nie stawiamy znaku minus, gdyż jest to funkcja parzysta.

Aby udowodnić powyższe równości, możemy skorzystać ze wzorów na różnicę kątów, przyjmując, że jeden z nich ma .

Aby udowodnić równości funkcji tangens i cotangens, możemy skorzystać z tożsamości trygonometrycznych z tymi funkcjami:

9.Wzory na sinus i cosinus połowy kąta.

Sinus połowy kąta:

Przykładowo, korzystając z tego wzoru, możemy obliczyć , przyjmując, że:

, a zatem

Podstawiając do wzoru (pomijamy wartość bezwzględną, gdyż leży w pierwszej ćwiartce, zatem na pewno sinus jest dodatni):

Cosinus połowy kąta:

Przy tych samych danych, mamy: