Miejsca zerowe funkcji kwadratowej

Określmy najpierw czym jest miejsce zerowe funkcji.

Definicja miejsca zerowego funkcji
Miejscem zerowym funkcji nazywamy argument x, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0. Jeżeli funkcja posiada jedno miejsce zerowe to oznaczamy je jako . W przypadku gdy funkcja posiada więcej niż jedno miejsce zerowe to miejsca zerowe oznaczamy jako , itd.

Wzór ogólny funkcji kwadratowej
Funkcję kwadratową nazywamy funkcję opisaną wzorem:

gdzie:
a, b, c – współczynniki funkcji
a, b, c
a ≠ 0

Miejsce zerowe funkcji kwadratowej
Jeżeli chcemy obliczyć miejsce/miejsca zerowe funkcji kwadratowej to należy wzór funkcji przyrównać do 0 i obliczyć Δ (deltę). Wzór na deltę to Δ = . Wiedząc ile wynosi Δ możemy stwierdzić ile dana funkcja posiada miejsc zerowych.

Jeżeli Δ = 0 to funkcja posiada jedno miejsce zerowe. Obliczamy je za pomocą wzoru .

Jeżeli Δ > 0 to funkcja ma dwa miejsca zerowe. Miejsca zerowe obliczamy za pomocą wzorów:
oraz .

Jeżeli Δ < 0 to funkcja nie posiada miejsc zerowych.

Wzór ogólny funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej
Tak się prezentuje wzór ogólny funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej:

gdzie:
a – współczynnik liczbowy
a ≠ 0
, – miejsca zerowe funkcji

Miejsce zerowe funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej
Charakterystyczną cechą funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej jest to, że jej miejsca zerowe możemy odczytać ze wzoru funkcji.

wzór ogólny:

Miejscami zerowymi funkcji zapisanej w taki sposób są oraz . Należy zauważyć, że przed oraz jest znak „minus”. Jeżeli we wzorze funkcji przed miejscem zerowym będzie „plus” to miejsce zerowe jest mniejsze od zera, ponieważ minus i minus daje plus.

Funkcja kwadratowa a wzory Vietea
Stosując wzory Vietea możemy określić znaki miejsc zerowych funkcji kwadratowej.

– wzór ogólny funkcji kwadratowej
Δ > 0 a ≠ 0
, – miejsca zerowe funkcji

a) , nie są tego samego znaku < 0 Jeżeli mnożymy dwa miejsca zerowe i w wyniku wychodzi nam liczba ujemna to znaczy, że miejsca zerowe nie są takiego samego znaku. Jedno miejsce zerowe ma znak „+”, a drugie „-„.

b) , są takiego samego znaku > 0

Jeżeli dwa miejsca zerowe są tego samego znaku to to ich iloczyn zawsze będzie większy od 0, ponieważ – i – daje +, a
+ i + też daje +.

) dwa miejsca zerowe są dodatnie

> 0 > 0

> 0 > 0

Jeżeli suma dwóch liczb i iloczyn dwóch liczb są dodatnie to oba miejsca zerowe są dodatnie, ponieważ suma dowolnych dwóch liczb dodatnich jest zawsze dodatnia.

) dwa miejsca zerowe są ujemne

> 0 > 0

< 0 < 0 Podane miejsca zerowe są ujemne, ponieważ suma dowolnych dwóch liczb ujemnych jest zawsze ujemna.

ZADANIA

ZADANIE 1
Oblicz miejsca zerowe funkcji kwadratowej opisanej wzorem

Przyrównujemy wzór funkcji do zera.

Obliczamy Δ.

Δ =
Δ > 0, czyli funkcja posiada 2 miejsca zerowe

Odp. Podana funkcja kwadratowa posiada dwa miejsca zerowe: -2 oraz .

ZADANIE 2
Wyznacz miejsca zerowe funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej .

– wzór ogólny funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej.

W naszym wzorze funkcji oba miejsca zerowe są ujemne, ponieważ przed miejscem zerowym stoi +, a nie -.

Odp. Miejsca zerowe podanej w zadaniu funkcji to -2 oraz -10.

ZADANIE 3
Określ znaki miejsc zerowych funkcji kwadratowej .

Obliczamy Δ.

Δ =

Δ > 0, czyli podana funkcja ma dwa miejsca zerowe.

, -3 < 0, < 0 Nie musimy już obliczać czy jest większe lub mniejsze od 0, ponieważ < 0. Odp. W podanej funkcji kwadratowej miejsca zerowe są różnych znaków, czyli jedno jest dodatnie, a drugie ujemne.