Wierzchołek paraboli

Wierzchołek paraboli to punkt W(p;q).
Przypomnijmy czym jest parabola.
Parabola to wykres funkcji kwadratowej.
Wzór funkcji kwadratowej to: . „a”; „b” oraz „c” to współczynniki funkcji kwadratowej.
Pokażmy na ćwiczeniu jak obliczyć wierzchołek paraboli.

Ćwiczenie 1.
Podaj współrzędne wierzchołka wykresu funkcji kwadratowej o wzorze:
.

Żeby zacząć to zadanie wypiszmy sobie współczynniki funkcji kwadratowej.
a= -1 b= -2 c= 3

Żeby obliczyć pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli W, czyli jest to współrzędna położona na osi poziomej OX, w naszym przypadku współrzędna „p” korzystamy z wzoru na „p”.

Żeby otrzymać „p” wystarczy pod odpowiednie literki podstawić wartości współczynników z naszego zadania.



Wiemy już, że wierzchołek paraboli ma współrzędne W(-1;q).
Żeby obliczyć „q” możemy skorzystać z dwóch sposobów.

I sposób.
Obliczamy, czyli wartość funkcji dla argumentu „p”.
W miejsce „x” we wzorze funkcji kwadratowej wstawiamy wartość p.

Wykonajmy to teraz na konkretnych liczbach, wstawiając w miejsce „p” wartość obliczoną w pierwszej części zadania.

II sposób.
W drugim sposobie skorzystamy z wzoru na „q”.

Żeby móc podstawić do wzoru deltę (w liczniku) musimy przypomnieć sobie jak ją obliczać.

Korzystamy z współczynników wypisanych na samym początku zadania.
Przypomnijmy je.
a= -1 b= -2 c=3
Podstawmy do wzoru




Podstawmy teraz do wzoru na „q”.

Obliczyliśmy zatem „p” i „q”.
Możemy więc zapisać współrzędne wierzchołka paraboli. W(-1;4).

Do czego wykorzystujemy wierzchołek paraboli?
Przede wszystkim służy on do narysowania paraboli, ale także do zapisania postaci kanonicznej funkcji kwadratowej.
Jak taka postać wygląda?

Po wymnożeniu postaci kanonicznej funkcji kwadratowej otrzymamy postać ogólną tej funkcji.
Spróbujmy rozwiązać zadanie z wykorzystaniem postaci kanonicznej.
Zacznijmy od ćwiczenia, które umożliwi nam rozpoznawanie jaki jest wierzchołek paraboli.

Ćwiczenie 2.
Podaj współrzędne wierzchołka paraboli oraz postać ogólną funkcji kwadratowej, jeśli wiesz, że funkcja kwadratowa ma wzór:
a)
x+4=x-p
4=-p
p=-4
q=3
W(-4;3)
Postać ogólną otrzymamy wykonując działania w postaci kanonicznej.

b)
Podajmy współrzędne wierzchołka
W(-2;-5)
Wykonajmy teraz działania żeby podać wzór ogólny funkcji kwadratowej.

c)
Podajmy współrzędne wierzchołka.
W(2;-1)
Wykonajmy teraz działania, żeby podać postać ogólną tego trójmianu kwadratowego (inna nazwa funkcji kwadratowej)




Odwróćmy teraz sytuację. Naszym zadaniem będzie napisać postać kanoniczną funkcji kwadratowej znając jej postać ogólną.

Ćwiczenie 3.
Napisz postać kanoniczną funkcji kwadratowej, wiedząc, że postać ogólna tej funkcji wyraża się wzorem:
a)
Żeby napisać wzór trójmianu kwadratowego w postaci kanonicznej musimy znać współrzędne wierzchołka.
Obliczmy je zatem.
Wypiszmy współczynniki tej funkcji kwadratowej.
a= 9 b= 3 c= -2
Zacznijmy od „p”




Obliczmy teraz „q”.
Zrobimy to na dwa sposoby, żebyście mogli wybrać, który Wam bardziej odpowiada.

I sposób
Obliczymy wartość funkcji dla „p”.

Podstawmy za

II sposób
Skorzystamy ze wzoru
Obliczmy deltę, czyli wyróżnik trójmianu kwadratowego.




Podstawmy do wzoru.



Wierzchołek ma współrzędne W
Zapiszmy zatem postać kanoniczną.